Ekstrema warunkowe funkcji

[Anitka4321]

Wyznaczyć ekstremum warunkowe funkcji:
1. f(x,y)= 2\(x^2\) +xy +\(y^2\) +100 przy warunku x + y = 100

2. f(x,y)= \(10^{0,6}\)\(y^{0,4}\) przy warunku 20x + 30y = 600

[patryk00714]

1.
\(f(x,y)=2x^2+xy+y^2+100\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ g(x)=x+y-100\)

tworzymy nową funkcję \(F(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda \cdot g(x)=2x^2+xy+y^2+100+\lambda \cdot x+\lambda \cdot y-100\lambda\)

Liczymy pochodne cząstkowe odpowiednio po \(x,y,\lambda\)

\(\frac{dF}{dx}=4x+y+\lambda \;\;\;\;\;\ \frac{dF}{dy}=x+2y+\lambda \;\;\;\;\;\ \frac{dF}{d\lambda}=x+y-100\)

Konstruujemy układ równań, którego rozwiązaniem będą punkty \(P_k(x_k,y_k,\lambda_k)\) podejrzane o ekstremum warunkowe.

\(\begin{cases}4x+y+\lambda=0\\x+2y+\lambda=0\\x+y-100=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}x= 25\\y=75\\ \lambda=-175 \end{cases}\)



Mamy więc jednego podejrzanego - \(P(25;75)\)

Tworzymy teraz hesjan obrzeżony. Wygląda on tak:



\(H= \begin{vmatrix}0& \frac{dg}{dx}& \frac{dg}{dy}\\ \frac{dg}{dx}& \frac{d^2F}{dxdx}& \frac{d^2F}{dydx}\\ \frac{dg}{dy}& \frac{d^2F}{dxdy}& \frac{d^2F}{dydy} \end{vmatrix}\)


No to liczymy wszystkie potrzebne pochodne cząstkowe:

\(\frac{dg}{dx}=1\;\;\;\;\ \frac{dg}{dy}=1\;\;\;\;\ \frac{d^2F}{dxdx}=4\;\;\;\;\;\ \frac{d^2F}{dydx}=1\)

\(\frac{d^2F}{dxdy}=1\;\;\;\;\;\ \frac{d^2F}{dydy}=2\)

Wstawiamy w hesjan i liczymy wyznacznik:

\(H=H(P)= \begin{vmatrix}0&1&1\\1&4&1\\1&1&2 \end{vmatrix}=-4<0\)

Zatem w \(P(25,75)\) jest minimum warunkowe.

[patryk00714]

Drugiego przykładu nie jestem w stanie rozczytać.