wypukłość , wklęsłość , punkty przegięcia

[Anitka4321]

wyznaczyć przedziały monotoniczności, wypukłości i wklęsłości oraz ekstrema i punkty przegięcia funkcji f(x)=\(xe^{-2e}\)

[radagast]

wyznaczyć przedziały monotoniczności, wypukłości i wklęsłości oraz ekstrema i punkty przegięcia funkcji f(x)=\(xe^{-2e}\)

To proste, bo to jest funkcja liniowa . Popraw treść zadania (wzór funkcji)

[Anitka4321]

dobrze napisałam. Jak takie proste to pomóż:)

[octahedron]

Chyba jednak to powinno być \(f(x)=xe^{-2x}\)

[Anitka4321]

heh no tak:) przepraszam:)

[octahedron]

\(f(x)=xe^{-2x}
f'(x)=e^{-2x}-2xe^{-2x}=e^{-2x}(1-2x)
e^{-2x}>0 \Rightarrow \begin{cases}x<\frac{1}{2} \Rightarrow f'(x)>0\\x=\frac{1}{2} \Rightarrow f'(x)=0 \\x>\frac{1}{2} \Rightarrow f'(x)<0 \end{cases}
f''(x)=-2e^{-2x}-2e^{-2x}+4xe^{-2x}=4e^{-2x}(x-1)= \begin{cases}x<1 \Rightarrow f''(x)<0\\x=1 \Rightarrow f''(x)<0\\x>1 \Rightarrow f''(x)>0\\ \end{cases}\)

Funkcja rośnie i osiąga maksimum w \(x=\frac{1}{2}\), potem maleje. Dla \(x<1\) jest wypukła, w \(x=1\) przegina się na wklęsłą.