wypukłość , wklęsłość , punkty przegięcia

[Anitka4321]

wyznacz przedziały wklęsłości wypukłości i punkty przegięcia funkcji:

1. f(x)=\(\frac{x^4}{2-x^3}\)

[ewelawwy]

rozumiem, że problem masz z wyliczeniem drugiej pochodnej...
\(y'=\frac{4x^3(2-x^3)-(-3x^2)x^4}{(2-x^3)^2}=\frac{8x^3-x^6}{4-4x^3+x^6}\\
y''=\frac{(24x^2-6x^5)(4-4x^3+x^6)-(-12x^2+6x^5)(8x^3-x^6)}{(4-4x^3+x^6)^2}\)
dolicz ten licznik
przyrównaj drugą pochodną do zera i dostaniesz w ten sposób punkty przegięcia
następnie rozwiązujesz dwie nie równości: \(y''\ge 0\) i \(y''\le 0\)
w pierwszym przyp. f. jest wypukła, w drugim wklęsła

[octahedron]

\(f'(x)=\frac{4x^3(2-x^3)-x^4(-3x^2)}{(2-x^3)^2}=\frac{8x^3-x^6}{(2-x^3)^2}
f''(x)=\frac{(24x^2-6x^5)(2-x^3)^2+6(8x^3-x^6)(2-x^3)x^2}{(2-x^3)^4}=\frac{12x^2(4+x^3)}{(2-x^3)^3}
f''(x)>0 \Leftrightarrow \begin{cases}4+x^3>0\\2-x^3>0 \\x\ne 0\end{cases} \ \vee\ \begin{cases}4+x^3<0\\2-x^3<0 \\x\ne 0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x>-\sqrt[3]{4}\\x<\sqrt[3]{2}\\x\ne 0\end{cases} \ \vee\ \begin{cases}x<-\sqrt[3]{4}\\x>\sqrt[3]{2} \\x\ne 0\end{cases} \Leftrightarrow x\in(-\sqrt[3]{4},0)\cup(0,\sqrt[3]{2})
f''(x)=0 \Leftrightarrow x=0\ \vee\ x=-\sqrt[3]{4}
f''(x)<0 \Leftrightarrow x\in(-\infty,-\sqrt[3]{4})\cup(\sqrt[3]{2},\infty)\)

Funkcja jest wypukła w przedziale \((-\sqrt[3]{4},\sqrt[3]{2})\) i wklęsła poza nim, \(-\sqrt[3]{4}\) i\(\sqrt[3]{2}\) to punkty przegięcia