Wyznaczyć ekstrema funkcji f(x,y)
\(f(x,y)=3ln \frac{x}{6} +2lny+ln(12-x-y)\)
Ekstrema funkcji
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
Anitka4321
- Dopiero zaczynam
- Posty: 16
- Rejestracja: 16 gru 2011, 13:12
- Podziękowania: 1 raz
- Płeć:
-
Lbubsazob
- Fachowiec
- Posty: 1909
- Rejestracja: 28 maja 2010, 08:51
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękowania: 40 razy
- Otrzymane podziękowania: 898 razy
- Płeć:
Re: Ekstrema funkcji
\(\frac{\partial f}{\partial x}= \frac{3}{x}- \frac{1}{12-y-x} = \frac{3y+4x-36}{x^2+xy-12x} \\
\frac{\partial f}{\partial y}= \frac{2}{y}- \frac{1}{12-y-x} = \frac{2x+3y-24}{y^2-12y+xy}\)
Potem przyrównujemy do zera obie pochodne cząstkowe, ale w tym wypadku mianowniki nie mogą być równe \(0\), więc przyrównujemy tylko liczniki.
\(\begin{cases} 3y+4x-36=0 \\ 2x+3y-24 =0 \end{cases} \\ \begin{cases} x=6 \\ y=4\end{cases}\)
\(\frac{\partial^2f}{\partial x^2}=- \frac{3}{x^2}- \frac{1}{(12-x-y)^2} \\
\frac{\partial^2f}{\partial x \partial y}=- \frac{1}{(12-x-y)^2} \\
\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}=- \frac{1}{(12-x-y)^2} \\
\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = -\frac{2}{y^2}- \frac{1}{(12-x-y)^2}\)
Potem tworzymy macierz z drugich pochodnych
\(\begin{bmatrix} - \frac{3}{x^2}- \frac{1}{(12-x-y)^2} & - \frac{1}{(12-x-y)^2} \\ - \frac{1}{(12-x-y)^2} &-\frac{2}{y^2}- \frac{1}{(12-x-y)^2} \end{bmatrix}\)
W punkcie \((6,4)\) wygląda to tak:
\(A= \begin{bmatrix} -\frac{1}{3} & -\frac{1}{4} \\ -\frac{1}{4} & -\frac{3}{8} \end{bmatrix} \\ \det A= \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{8}- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{16}>0\)
czyli ta funkcja ma minimum w punkcie \((6,4)\)
\frac{\partial f}{\partial y}= \frac{2}{y}- \frac{1}{12-y-x} = \frac{2x+3y-24}{y^2-12y+xy}\)
Potem przyrównujemy do zera obie pochodne cząstkowe, ale w tym wypadku mianowniki nie mogą być równe \(0\), więc przyrównujemy tylko liczniki.
\(\begin{cases} 3y+4x-36=0 \\ 2x+3y-24 =0 \end{cases} \\ \begin{cases} x=6 \\ y=4\end{cases}\)
\(\frac{\partial^2f}{\partial x^2}=- \frac{3}{x^2}- \frac{1}{(12-x-y)^2} \\
\frac{\partial^2f}{\partial x \partial y}=- \frac{1}{(12-x-y)^2} \\
\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}=- \frac{1}{(12-x-y)^2} \\
\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = -\frac{2}{y^2}- \frac{1}{(12-x-y)^2}\)
Potem tworzymy macierz z drugich pochodnych
\(\begin{bmatrix} - \frac{3}{x^2}- \frac{1}{(12-x-y)^2} & - \frac{1}{(12-x-y)^2} \\ - \frac{1}{(12-x-y)^2} &-\frac{2}{y^2}- \frac{1}{(12-x-y)^2} \end{bmatrix}\)
W punkcie \((6,4)\) wygląda to tak:
\(A= \begin{bmatrix} -\frac{1}{3} & -\frac{1}{4} \\ -\frac{1}{4} & -\frac{3}{8} \end{bmatrix} \\ \det A= \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{8}- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{16}>0\)
czyli ta funkcja ma minimum w punkcie \((6,4)\)