Ciągi

[mawu]

\(\lim_{n\to \infty } \sqrt[3]{n\div \sqrt[2]{n}}\\
\lim_{n\to \infty }n^{p} \div 2n, p do N\\
\lim_{n\to \infty }a^{n}\div n! ,a\in N\\
\lim_{n\to \infty }n!\div n^{n}\\
\lim_{n\to \infty }(1+ 1\div n) ^{n(-1)^{n}}\)

[radagast]

Troszeczkę Ci to poprawię, to pewnie się ktoś skusi na rozwiązywanie :

Wyznacz granice następujących ciągów:
\(1. \lim_{n\to \infty } \sqrt[3]{ \frac{n}{ \sqrt{2} } }\\
2. \lim_{n\to \infty } \frac{n^p}{2n} ,\ \ p \in N\\
3. \lim_{n\to \infty } \frac{a^n}{n!} ,\ \ a\in N\\
4. \lim_{n\to \infty } \frac{n!}{n^n} \\
5. \lim_{n\to \infty }(1+ \frac{1}{n} ) ^{n \cdot (-1)^{n}}\)

A Ty sprawdź czy to tak miało być(szczególnie ostatniego nie jestem pewna, bo to łatwe jest wtedy - nie ma granicy ,ale one prawie wszystkie są dość banalne )

[mawu]

Gdyby były dla mnie banalne nie prosiłabym o pomoc

[radagast]

\(1.
\lim_{n\to \infty } \sqrt[3]{ \frac{n}{ \sqrt{2} } }= \infty\) i tu nie ma co debatować

[radagast]

\(2.
\lim_{n\to \infty } \frac{n^p}{2n}= \lim_{n\to \infty } \frac{n^{p-1}}{2}= \begin{cases} \frac{1}{2} \ \ \ dla \ \ \ p=1 \\ \infty \ \ \ dla \ \ \ p>1 \\0 \ \ \ \ dla \ \ \ p=0\end{cases}\)

[radagast]

\(3.
\lim_{n\to \infty } \frac{a^n}{n!}=0\)
i tu uzasadnienie jest trudniejsze. Trzeba wiedzieć , ze jeśli \(\lim_{n\to \infty } \frac{a_{n+1}}{a_n} <1\) to \(a_n \to 0\)

[radagast]

\(4.
\lim_{n\to \infty } \frac{n!}{n^n}=0\) (z twierdzenia o 3 ciągach)

[radagast]

\(5.
\lim_{n\to \infty }(1+ \frac{1}{n} ) ^{n \cdot (-1)^{n}}=\lim_{n\to \infty }e ^{(-1)^{n}}\) nie istnieje , bo to ciąg \(\left( \frac{1}{e},e, \frac{1}{e},e, \frac{1}{e},e, ... \right)\)

[radagast]

Jeśli coś nadal nie jest jasne to pytaj
A z tą banalnością to przesadziłam Nie są takie banalne