Wyznaczanie wartości x - logarytmy

[bialkin]

1) Wyznacz wszystkie wartości x, dla których liczby \(log2, log(2^{x}-1), log(2^{x}+3)\) w podanej kolejności, tworzą ciąg arytmetyczny.

2) Zbadaj parzystość funkcji:
a) \(f(x)=x^{3}log \frac{2-x}{2+x}\);
b) \(f(x)=log_{2}cos2x\);
c) \(f(x)=log(x+ \sqrt{1+x^{2}})\)

[irena]

1.
\((log2,\ log(2^x-1),\ log(2^x+3))\) - ciąg arytmetyczny

\(log2+log(2^x+3)=2log(2^x+1)\\log2(2^x+3)=log(2^x+3)^2\\2\cdot2^x+6=2^{2x}-2\cdot2^x+1\\2^{2x}-4\cdot2^x-5=0\\2^x=t>0\\t^2-4t-5=0\\\Delta=16+20=36\\t_1=\frac{4-6}{2}=-1<0\ \vee\ t_2=\frac{4+6}{2}=5\\2^x=5\\x=log_25\)

[irena]

2.
a)
\(f(x)=x^3log\frac{2-x}{2+x}\\\frac{2-x}{2+x}>0\\(2-x)(2+x)>0\\x\in(-2;\ 2)\)

\(f(-x)=(-x)^3log\frac{2+x}{2-x}=-x^3log\(\frac{2-x}{2+x}\)^{-1}=-x^3\cdot(-log\frac{2-x}{2+x})=x^3log\frac{2-x}{2+x}=f(x)\)

Funkcja jest parzysta

[irena]

b)
\(f(x)=log_2(cos2x)\\cos2x>0\\x\in(-\frac{\pi}{4}+k\pi;\ \frac{\pi}{4}+k\pi)\)

\(f(-x)=log_2(cos(-2x))=log_2(cos2x)=f(x)\)

Funkcja parzysta