Nierówność logarytmiczna

Pytania o rozwiązania zadań.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
suspicious20
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 285
Rejestracja: 05 kwie 2011, 17:49
Podziękowania: 97 razy
Płeć:

Nierówność logarytmiczna

Post autor: suspicious20 » 04 lis 2011, 21:25

czy dobrze to rozwiązuję:
\begin{lnx>0} \end{lnx<5}

\begin{lnx>ln1} \end{lnx<ln(e^5)}

i teraz nie wiem czy musze zmieniac znak nierówności czy nie,gdy pozbywam sie logarytmów, aby obliczyć x?

suspicious20
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 285
Rejestracja: 05 kwie 2011, 17:49
Podziękowania: 97 razy
Płeć:

Post autor: suspicious20 » 04 lis 2011, 21:26

nie mam odpowiedzi do tego

Murarz
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 620
Rejestracja: 17 kwie 2011, 20:18
Lokalizacja: Wrocław
Podziękowania: 9 razy
Otrzymane podziękowania: 283 razy
Płeć:

Post autor: Murarz » 04 lis 2011, 21:28

Popraw zapis.

suspicious20
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 285
Rejestracja: 05 kwie 2011, 17:49
Podziękowania: 97 razy
Płeć:

Post autor: suspicious20 » 04 lis 2011, 21:44

lnx>0 i lnx<5

wtw

lnx>ln1 i lnx<ln(e^5)


i co dalej ?

Murarz
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 620
Rejestracja: 17 kwie 2011, 20:18
Lokalizacja: Wrocław
Podziękowania: 9 razy
Otrzymane podziękowania: 283 razy
Płeć:

Post autor: Murarz » 04 lis 2011, 21:54

\(lnx>0 \wedge lnx<5 \Leftrightarrow lnx>ln1 \wedge lnx<ln(e^5)\\
\\ ln1=0\\
\\ ln(e^5)=log_e e^5=5\)

Nie wiem, czy tak można zapisać, ale się pokuszę ;p
Zatem:
\(x>1 \wedge x<e^5\\
\\ x\in(1;e^5)\)

Znaku nie zmieniasz bo podstawa e jest większa od jedności.
Ostatnio zmieniony 04 lis 2011, 21:58 przez Murarz, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
domino21
Expert
Expert
Posty: 3724
Rejestracja: 27 mar 2009, 17:56
Lokalizacja: Skierniewice
Podziękowania: 3 razy
Otrzymane podziękowania: 1297 razy
Płeć:

Post autor: domino21 » 04 lis 2011, 21:57

\(\ln x > \ln 1 \ \wedge \ \ln x < \ln e^5
x>1 \ \wedge \ x<e^5
x\in (1,e^5)\)


przy opuszczeniu logarytmów nie zmieniamy znaku nierówności, ponieważ \(y=\ln x\) jest funkcją rosnącą

suspicious20
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 285
Rejestracja: 05 kwie 2011, 17:49
Podziękowania: 97 razy
Płeć:

Post autor: suspicious20 » 04 lis 2011, 22:07

no to wlasnie chodzilo mi tylko o tą zmianę znaku :)

Awatar użytkownika
domino21
Expert
Expert
Posty: 3724
Rejestracja: 27 mar 2009, 17:56
Lokalizacja: Skierniewice
Podziękowania: 3 razy
Otrzymane podziękowania: 1297 razy
Płeć:

Post autor: domino21 » 04 lis 2011, 22:17

a gdyby było powiedzmy tak:
\(\log_{\frac{1}{2} }x > 4
\log_{\frac{1}{2}}x > \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{16}
x<\frac{1}{16}\)


do tego dziedzina oczywiście x>0

ale zasadniczo chodzi o to, że mając funkcję logarytmiczną \(y=\log_a x\)
zmieniamy znak na przeciwny w nierównościach gdy \(a\in (0,1)\) (f. malejąca)
nie zmieniamy, gdy \(a>1\) (f. rosnąca)