Nierówność logarytmiczna

[suspicious20]

czy dobrze to rozwiązuję:
\begin{lnx>0} \end{lnx<5}

\begin{lnx>ln1} \end{lnx<ln(e^5)}

i teraz nie wiem czy musze zmieniac znak nierówności czy nie,gdy pozbywam sie logarytmów, aby obliczyć x?

[suspicious20]

nie mam odpowiedzi do tego

[Murarz]

Popraw zapis.

[suspicious20]

lnx>0 i lnx<5

wtw

lnx>ln1 i lnx<ln(e^5)


i co dalej ?

[Murarz]

\(lnx>0 \wedge lnx<5 \Leftrightarrow lnx>ln1 \wedge lnx<ln(e^5)\\
\\ ln1=0\\
\\ ln(e^5)=log_e e^5=5\)
Nie wiem, czy tak można zapisać, ale się pokuszę ;p
Zatem:
\(x>1 \wedge x<e^5\\
\\ x\in(1;e^5)\)
Znaku nie zmieniasz bo podstawa e jest większa od jedności.

[domino21]

\(\ln x > \ln 1 \ \wedge \ \ln x < \ln e^5
x>1 \ \wedge \ x<e^5
x\in (1,e^5)\)

przy opuszczeniu logarytmów nie zmieniamy znaku nierówności, ponieważ \(y=\ln x\) jest funkcją rosnącą

[suspicious20]

no to wlasnie chodzilo mi tylko o tą zmianę znaku

[domino21]

a gdyby było powiedzmy tak:
\(\log_{\frac{1}{2} }x > 4
\log_{\frac{1}{2}}x > \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{16}
x<\frac{1}{16}\)

do tego dziedzina oczywiście x>0

ale zasadniczo chodzi o to, że mając funkcję logarytmiczną \(y=\log_a x\)
zmieniamy znak na przeciwny w nierównościach gdy \(a\in (0,1)\) (f. malejąca)
nie zmieniamy, gdy \(a>1\) (f. rosnąca)