podzielność

[mariola3]

potrzebuję pomocy. mam problem z zadaniem: Oznaczmy przez C1 liczbę 25, przez C2 liczbę 252255 (dwójka,
piątka, dwie dwójki, dwie piątki), przez C3 liczbę 252255222555 (dwójka,
piątka, dwie dwójki, dwie piątki, trzy dwójki, trzy piątki ). Ogólnie oznaczmy przez
Cn liczbę postaci 252255222555 . . . 222 . . . 222555 . . . 555, gdzie w ostatniej
grupie cyfr jest n dwójek i n piątek.
Zadanie. Dla jakich n liczba Cn jest podzielna przez 3, 7, 9, 11?

[irena]

\(C_1=25\\C_2=252255\\C_3=252255222555\\C_n=252255...22...255...5\)

Ilość dwójek i ilość piątek w liczbie \(C_n\) jest równa:
\(1+2+3+...+n=\frac{1+n}{2}\cdot n=\frac{n(n+1)}{2}\)

Suma cyfr liczby \(C_n\):
\(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\cdot2+\frac{n(n+1)}{2}\cdot5=7\cdot\frac{n(n+1)}{2}\)

Liczba \(C_n\) dzieli się przez 3, jeśli liczba n dzieli się przez 3 lub liczba (n+1) dzieli się przez 3.
Czyli - liczba dzieli się przez 3, jeśli:
\(n=3k\ \ \vee\ \ n=3k-1\ \ \ dla\ \ k\in N_+\)

Liczba ta dzieli się przez 9, jeśli
\(n=9k\ \ \ \vee\ \ \ n=9k-1\ \ \ dla\ \ k\in N_+\)

[octahedron]

Liczba jest podzielna przez \(11\), jeśli różnica sum cyfr parzystych i nieparzystych jest podzielna przez \(11\). Tutaj mamy:

\(C_n=252255222555... \Rightarrow (5-2)+(2-2+5-5)+(2-2+5-2+5-5)+...\)

czyli grupy o parzystej ilości dwójek i piątek dają w sumie \(0\), o nieparzystej \(5-2=3\), więc ilość grup nieparzystych musi być podzielna przez \(11\). Dla \(n=2k\) grup tych jest \(k\), dla \(n=2k-1\) również \(k\), czyli \(k=11m\) i dla \(n=22m\) lub \(n=22m-1,\ m\in N,\ C_n\) jest podzielne przez \(11\).

[mariola3]

dziękuję za odpowiedzi, ale nie wiem jak policzyliście ilość dwójek i piątek w liczbie Cn oraz sume cyfr w tej liczbie? nie rozumiem tego liczenia. czy można to jakoś jaśniej wytłumaczyć? proszę.

[irena]

Liczba \(C_n\) to:

\(C_n=252255222555...22...255...5\)

Ta liczba powstała przez wpisanie:
- jedna dwójka i jedna piątka
- dwie dwójki i dwie piątki
- trzy dwójki i trzy piątki
.
.
.
- n dwójek i n piątek

Ilość dwójek ( i ilość piątek w tej liczbie) to suma skończonego ciągu arytmetycznego o pierwszym wyrazie równym 1 i różnicy równej 1- suma n kolejnych liczb naturalnych:
\(1+2+...+n=\frac{n(n+1)}{2}\)

Czyli - w liczbie \(C_n\) jest \(\frac{n(n+1)}{2}\) dwójek i tyle samo piątek.

Suma cyfr wynika z tych obliczeń

[irena]

Masz liczby: 1, 2, 3, ..., n.
Tworzą one ciąg arytmetyczny, w którym pierwszy wyraz jest równy 1, ostatni jest równy n i tych liczb jest n.
Wzór na sumę takiego ciągu arytmetycznego, w którym pierwszy wyraz jest oznaczony \(a_1\), ostatni (n-ty) to \(a_n\) i n to liczba wyrazów ciągu:
\(S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n\)

tutaj:
\(a_1=1\\a_n=n\)

Stąd:
\(S_n=\frac{1+n}{2}\cdot n=\frac{n(n+1)}{2}\)

[mariola3]

octahedron napisz mi proszę, skąd wziąłęś to ostatnie twierdzenie, że dla n=2k grup tych jest k dla n=2k-1 również k , czyli k=11m i dla n--22m lub n=22m-1. wytłumacz m i, bo nie chcę przepisać, ale chcę to zrozumiec

[octahedron]

Bo są na przemian: nieparzysta, parzysta, nieparzysta, parzysta.... Więc jeśli wszystkich grup jest parzysta ilość, czyli \(2k\), to nieparzystych jest połowa, czyli \(k\). Jeśli grup będzie o \(1\) mniej, czyli \(2k-1\), to odpadnie ostatnia, która jest parzysta, czyli nieparzystych jest dalej \(k\).

[irena]

Podzielność przez 11:

Liczba \(C_n=252255222555...22...255...5\)

Liczba naturalna dzieli się przez 11, jeśli różnica między sumą cyfr stojących na nieparzystych miejscach a sumą cyfr stojących na parzystych miejscach jest podzielna przez 11.

Liczba ta ma tyle samo dwójek co piątek, ma więc parzystą ilość cyfr. Obliczając różnicę opisaną wyżej, możemy więc pogrupować cyfry w pary, obliczyć różnicę między cyframi w każdej takiej parze i te różnice dodać.

Liczba ma
- jedną dwójkę i jedną piątkę - różnica w tej parze jest równa -3
- dwie dwójki i dwie piątki - różnice tutaj są równe: (2-2) i (5-5), czyli suma tych różnic jest równa zero
- 3 dwójki i 3 piątki - różnice tutaj wynoszą: (2-2), (2-5) i (5-5), czyli suma tych różnic jest równa 0+0+(-3)=-3
.
.
.

Zauważ, że
- jeśli grupa składa się z parzystej ilości dwójek i piątek, to suma opisanych różnic jest równa zero
- jeśli grupa składa się z nieparzystej ilości dwójek i piątek, to suma opisanych różnic jest równa (-3)

Suma różnic w całej liczbie jest więc wielokrotnością liczby (-3). Taka suma dzielić się będzie przez 11, jeśli w liczbie \(C_n\) będzie podzielna przez 11 liczba grup z nieparzystą ilością dwójek i piątek.

Żeby wśród kolejnych liczb naturalnych było 11 liczb nieparzystych, trzeba wziąć liczby od 1 do 21 lub od 1 do 22.
Liczba n musi być więc - albo wielokrotnością liczby 22, albo musi być od tej wielokrotności mniejsza o 1.


Liczba n zatem ma postać:
\(n=22k\ \ \ lub\ \ \ n=22k-1\)

Błędnie napisałam poprzednio, że liczba n ma być wielokrotnością liczby 21 lub że jest o 1 większa od wielokrotności 21. Dlatego poprawiłam.

Pytaj, jeśli jeszcze czegoś nie rozumiesz.

[octahedron]

Owszem, nie wygeneruje się \(63\) i \(64\) oraz \(84\) i \(85\) itd. Ale grup o nieparzystej ilości dwójek i piątek jest w nich odpowiednio \(32,32,42\) i \(43\), a żadna z tych liczb nie jest podzielna przez \(11\)

[irena]

Owszem, nie wygeneruje się \(63\) i \(64\) oraz \(84\) i \(85\) itd. Ale grup o nieparzystej ilości dwójek i piątek jest w nich odpowiednio \(32,32,42\) i \(43\), a żadna z tych liczb nie jest podzielna przez \(11\)

Oczywiście - masz rację, trochę za szybko napisałam swój wniosek. Zaraz poprawię.
Octahedron- moje przeprosiny.

[octahedron]

Oj, zaraz przeprosiny... Jakie ja czasem dziwne rzeczy wypisuję...

[irena]

Cieszę się, że się nie gniewasz.

A tak nawiasem mówiąc, nie mogę znaleźć dobrego sposobu na podzielność przez 7 tej liczby.

[octahedron]

W pierwszej chwili zacząłem toczyć pianę z pyska, ale już mi przeszło...

[octahedron]

Z siódemką też mi coś nie idzie. Próbowałem te potęgi trójki jakoś rozpisywać, ale nie chce się ładnie uprościć. Może trzeba coś zauważyć...