Funkcja odwrotna

Pytania o rozwiązania zadań.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
gucio1234
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 1
Rejestracja: 06 paź 2011, 11:46
Podziękowania: 1 raz
Płeć:

Funkcja odwrotna

Post autor: gucio1234 » 06 paź 2011, 11:52

Proszę o pomoc w znalezieniu funkcji odwrotnej do

\(f(x) = \frac{{e^x - e^{-1}}}{{e^x + e^{-1}}}\)

dziękuję

Galen
Guru
Guru
Posty: 18238
Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
Podziękowania: 3 razy
Otrzymane podziękowania: 9053 razy

Post autor: Galen » 06 paź 2011, 12:15

\(\frac{e^x-\frac{1}{e}}{e^x+\frac{1}{e}}=y\)
Obliczasz z tego równania x,a potem zamieniasz nazwy zmiennych x na y ,zaś y na x.
\(\frac{e^{x+1}-1}{e^{x+1}+1}=y\\
y\cdot e^{x+1}+y=e^{x+1}-1\\
ye^{x+1}-e^{x+1}=-1-y\\
e^{x+1}(y-1)=-1-y\\
e^{x+1}= \frac{-1-y}{y-1}\\
e^{x+1}= \frac{1+y}{1-y}\)

Definicja logarytmu naturalnego:
\(x+1=ln\frac{1+y}{1-y}\\
x= ln \frac{1+y}{1-y}-1\)

\(f^{-1}(x)=ln \frac{1+x}{1-x}-1\)
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.

Awatar użytkownika
ewelawwy
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2057
Rejestracja: 16 kwie 2010, 15:32
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 2 razy
Otrzymane podziękowania: 910 razy
Płeć:

Re: Funkcja odwrotna

Post autor: ewelawwy » 06 paź 2011, 14:08

\(\frac{{e^x - e^{-1}}}{{e^x + e^{-1}}}=y\\
\frac{\frac{e^{x+1}-1}{e}}{\frac{e^{x+1}+1}{e}}=y\\
\frac{e^{x+1}-1}{e^{x+1}+1}=y\\
y(e^{x+1}+1)=e^{x+1}-1\\
ye^{x+1}+y=e^{x+1}-1\\
ye^{x+1}-e^{x+1}=-1-y\\
e^{x+1}(y-1)=-1-y\\
e^{x+1}=\frac{-1-y}{y-1}\\
x+1=\ln \frac{1+y}{1-y}\\
x=\ln \frac{1+y}{1-y}-1\)


odp. b