Prosta i płaszczyzna w R3

[ola-1991]

Dany jest trójkąt ABC, gdzie A ( 2, -1, 3) , B (1,5,-4), C (-3,1,7). Znależć równania prostych leżących w płaszczyżnie tego trójkąta i będących :
a) środkową boku AB
b) symetralną boku
c) wysokością poprowadzoną z boku C
d) dwusieczną kąta przy boku A
Obliczyć pole i znależć środek ciężkości tego trójkąta.

[radagast]

a)
\(M\)-środek odcinka \(\overline{AB}\)
\(M= \left( \frac{3}{2} ,2,- \frac{1}{2} \right)\)
\(\vec{CM}= \left[ \frac{9}{2} ,1,- \frac{15}{2} \right] \parallel \left[9,2,-15 \right]\)
przypomnę, że \(C= \left(-3,1,7 \right)\)
Zatem środkowa boku AB ma przedstawienie parametryczne: \(p(t)= \left( 9t-3,2t+2,-15t+7\right)\)

[radagast]

czy to zadanie pochodzi ze sprawdzonego źródła ? (typu zbiór zadań, rozsądny prowadzący ćwiczenia... ), bo liczy się paskudnie. Chyba sobie nie poradzę z pozostałymi punktami. Sama płaszczyzna trójkata ABC wyszła mi \(38x+39y+28z-121=0\)

[ola-1991]

tak z zestawu ćwiczeń

[radagast]

No to spróbuje jutro

[radagast]

b)
\(\vec{AB}= \left[ -1,6,-7\right]\)
\(\vec{AC}= \left[ -5,2,4\right]\)
\(\left[ -1,6,-7\right] \times \left[ -5,2,4\right]= \left[38,39,28 \right]\) jest wektorem prostopadłym do płaszczyzny trójkąta \(ABC\)
zatem płaszczyzna trójkąta ABC ma równanie \(38x+39y+28z+D=0\)
a ponieważ przechodzi przez punkt \(A\) (np) to D=-121

Równanie płaszczyzny \(ABC\) to \(38x+39y+28z-121=0\)

Symetralna boku leży na płaszczyźnie \(\pi\) prostopadłej do boku AB
\(\vec{AB}= \left[ -1,6,-7\right]\)
No to \(\pi\) na równanie \(-x+6y-7z+E=0\),
a ponieważ przechodzi przez punkt \(M= \left( \frac{3}{2},2,- \frac{1}{2} \right)\) (znany z podpunktu a) to \(E=-14\) czyli

Równanie płaszczyzny \(\pi\) to \(-x+6y-7z-14=0\)

Ostatecznie więc symetralna boku AB to \(\begin{cases} 38x+39y+28z-121=0\\-x+6y-7z-14=0 \end{cases}\)

[radagast]

c) prawie identycznie jak b) (prosta leży na płaszczyźnie trójkąta ABC i na płaszczyźnie prostaopadłej do AB, przechodzącej przez punkt C)

d) prawie identycznie jak a) (prosta jest równoległa do wektora dwusiecznego kąta BAC i przechodzi przez punkt A)

Pole trójkąta to połowa długości iloczynu wektorowego wektorów rozpinających ten trójkąt (iloczyn wektorowy juz policzyłam w punkcie b) , długość policz sobie sama).

Środek ciężkości to punkt przecięcia symetralnych. Trzeba więc wyznaczyć jeszcze jedną(tak jak w b) i rozwiązać układ 3 równań z trzema niewiadomymi.

Kupa roboty. Dasz radę ?

W razie problemów - pytaj

[ola-1991]

myślę,że dam radę dziękuję za pomoc