Witam. Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu krok po kroku tego zadania. Chciałbym o jak najdokładniejsze wytłumaczenie tego zadania, bo dokładnie takie samo będę mieć na kartkówce i świetnie byłoby uzyskać maxa jeśli chodzi o punkty;)
\(\ f(x,y)=cx^2y-cxy^2+{\frac{c}{3}}y^3-cd^2y+a+b+3\)
\(a=3
b=4
c=-2
d=3\)
Esktrema lokalne funkcji
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
maxiormchw
- Witam na forum
- Posty: 4
- Rejestracja: 14 cze 2011, 13:39
- Podziękowania: 2 razy
- Płeć:
Przy takich danych dla a, b, c, d masz:
\(f(x,\ y)=-2x^2y+2xy^2-\frac{2}{3}y^3+18y+10\)
Liczysz najpierw pierwsze pochodne:
\(f'_x=-4xy+2y^2\\f'_y=-2x^2+4xy-2y^2+18\)
Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum jest zerowanie się pierwszych pochodnych.
Masz tu:
\(\begin{cases}-4xy+2y^2=0\ /:(-2)\\-2x^2+4xy-2y^2+18=0\ /:(-2) \end{cases} \\ \begin{cases}2xy-y^2=0\\x^2-2xy+y^2-9=0 \end{cases} \\ \begin{cases}y(2x-y)=0\\(x-y)^2=9 \end{cases} \\ \begin{cases}y=0\ \vee\ y=2x\\x-y=3\ \vee\ x-y=-3 \end{cases} \\ \begin{cases}x=-3\\y=0 \end{cases} \ \ \vee\ \ \begin{cases}x=3\\y=0 \end{cases} \ \ \vee\ \ \begin{cases}x=3\\y=6 \end{cases}\ \ \vee\ \ \begin{cases}x=-3\\y=-6 \end{cases}\)
Masz więc 4 punkty "podejrzane" o ekstremum.
Liczysz drugie pochodne:
\(f^"_{xy}=f^"_{yx}=-4x+4y\\f^"_{xx}=-4y\\f^"_{yy}=4x-4y\)
Obliczasz wartości tych pochodnych w danych punktach:
\(f^"_{xy}(3,\ 0)=-12\\f^"_{xx}(3,\ 0)=0\\f^"_{yy}(3,\ 0)=12\)
I obliczasz:
\(D(3,\ 0)=[f^"_{xy}(3,\ 0)]^2-f^"_{xx}(3,\ 0)\cdot f^"_{yy}(3,\ 0)=(-12)^2-0\cdot12=144>0\)
Żeby w punkcie (a, b) było ekstremum lokalne, musi być D(a, b)<0
Więc w punkcie (3, 0) nie ma ekstremum.
Sprawdź - podobnie w punkcie (-3, 0)
Liczysz punkt (3, 6)
\(f^"_{xy}(3,\ 6)=-12+24=12\\f^"_{xx}(3,\ 6)=-24\\f^"_{yy}(3,\ 6)=12-24=-12\\D(3,\ 6)=12^2-(-24)\cdot(-12)=144-288<0\)
W tym punkcie jest ekstremum.
Sprawdzasz znak drugiej pochodnej
\(f^"_{xx}(3,\ 6)=-24<0\)
Czyli w punkcie (3, 6) funkcja ma maksimum lokalne
W punkcie (-3, -6)
\(f^"_{xy}(-3,\ -6)=12-24=-12\\f^"_{xx}(-3,\ -6)=24\\f^"_{yy}(-3,\ -6)=-12+24=12\\D(-3,\ -6)=(-12)^2-24\cdot12=144-288<0\)
W punkcie (-3, -6) funkcja ma ekstremum
\(f^"_{xx}(-3,\ -6)=24>0\)
W punkcie (-3, -6) funkcja przyjmuje minimum lokalne.
Oblicz f(3, 6) i f(-3, -6), to otrzymasz wartości tych ekstremów
\(f(x,\ y)=-2x^2y+2xy^2-\frac{2}{3}y^3+18y+10\)
Liczysz najpierw pierwsze pochodne:
\(f'_x=-4xy+2y^2\\f'_y=-2x^2+4xy-2y^2+18\)
Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum jest zerowanie się pierwszych pochodnych.
Masz tu:
\(\begin{cases}-4xy+2y^2=0\ /:(-2)\\-2x^2+4xy-2y^2+18=0\ /:(-2) \end{cases} \\ \begin{cases}2xy-y^2=0\\x^2-2xy+y^2-9=0 \end{cases} \\ \begin{cases}y(2x-y)=0\\(x-y)^2=9 \end{cases} \\ \begin{cases}y=0\ \vee\ y=2x\\x-y=3\ \vee\ x-y=-3 \end{cases} \\ \begin{cases}x=-3\\y=0 \end{cases} \ \ \vee\ \ \begin{cases}x=3\\y=0 \end{cases} \ \ \vee\ \ \begin{cases}x=3\\y=6 \end{cases}\ \ \vee\ \ \begin{cases}x=-3\\y=-6 \end{cases}\)
Masz więc 4 punkty "podejrzane" o ekstremum.
Liczysz drugie pochodne:
\(f^"_{xy}=f^"_{yx}=-4x+4y\\f^"_{xx}=-4y\\f^"_{yy}=4x-4y\)
Obliczasz wartości tych pochodnych w danych punktach:
\(f^"_{xy}(3,\ 0)=-12\\f^"_{xx}(3,\ 0)=0\\f^"_{yy}(3,\ 0)=12\)
I obliczasz:
\(D(3,\ 0)=[f^"_{xy}(3,\ 0)]^2-f^"_{xx}(3,\ 0)\cdot f^"_{yy}(3,\ 0)=(-12)^2-0\cdot12=144>0\)
Żeby w punkcie (a, b) było ekstremum lokalne, musi być D(a, b)<0
Więc w punkcie (3, 0) nie ma ekstremum.
Sprawdź - podobnie w punkcie (-3, 0)
Liczysz punkt (3, 6)
\(f^"_{xy}(3,\ 6)=-12+24=12\\f^"_{xx}(3,\ 6)=-24\\f^"_{yy}(3,\ 6)=12-24=-12\\D(3,\ 6)=12^2-(-24)\cdot(-12)=144-288<0\)
W tym punkcie jest ekstremum.
Sprawdzasz znak drugiej pochodnej
\(f^"_{xx}(3,\ 6)=-24<0\)
Czyli w punkcie (3, 6) funkcja ma maksimum lokalne
W punkcie (-3, -6)
\(f^"_{xy}(-3,\ -6)=12-24=-12\\f^"_{xx}(-3,\ -6)=24\\f^"_{yy}(-3,\ -6)=-12+24=12\\D(-3,\ -6)=(-12)^2-24\cdot12=144-288<0\)
W punkcie (-3, -6) funkcja ma ekstremum
\(f^"_{xx}(-3,\ -6)=24>0\)
W punkcie (-3, -6) funkcja przyjmuje minimum lokalne.
Oblicz f(3, 6) i f(-3, -6), to otrzymasz wartości tych ekstremów