odległośc punktu od prostej

[joanna1234]

obliczyć odlełgość punktu a=(-2,1,3,0,2) od prostej przechodzącej przez punkty p=(1,2,0,3,3), q=(0,1,-1,2,-1).

[radagast]

\(\vec{qp}= \left[1,1,1,1,4 \right]\)
No to prosta \(pq\) ma przedstawienie parametryczne: \(l(t)= \left( t+1,t+2,t,t+3,4t+3\right)\)

Wektor o początku w punkcie \(a\) i końcu na prostej \(pq\) ma zetem postać : \(\left[ t+3,t+1,t-3,t+3,4t+1\right]\)

Jest on prostopadły do tej prostej jeśli
\(\left[ t+3,t+1,t-3,t+3,4t+1\right] \circ \left[1,1,1,1,4 \right]=0\)

Stąd \(t+3+t+1+t-3+t+3+4(4t+1)=0\)

a więc

\(20t=-8\\t= - \frac{2}{5}\)


Odległość puntu \(a\) od prostej \(pq\) to zatem długość wektora \(\left[ - \frac{2}{5}+3,- \frac{2}{5}+1,- \frac{2}{5}-3,- \frac{2}{5}+3,4 \cdot \left( - \frac{2}{5}\right) +1\right]= \left[ \frac{13}{5} , \frac{3}{5},- \frac{17}{5}, \frac{13}{5},-9 \right]=\frac{ \sqrt{2661} }{5}\)

Na pewno się gdzieś pomyliłam w rachunkach ale starałam się dokładnie opisać rozumowanie, więc na pewno znajdziesz błąd (rachunkowy)

[joanna1234]

wiem jak wyliczyć wektor qp, ale mam problem z tym
prosta pq ma przedstawienie parametryczne: \(l(t)= \left( t+1,t+2,t,t+3,4t+3\right)\)
tu jest policzone jako to L jest równe \(p+t \vec{qp}\), a to nie powinno być \(q+t \vec{qp}\)?-czy to jest bez różnicy?

a to Wektor o początku w punkcie a i końcu na prostej pq ma zetem postać : \(\left[ t+3,t+1,t-3,t+3,4t+1\right]\) jak się liczy???
to jest Tak:
\([t+1-(-2),t+2-1,t-3,t+3-0,4t+3-2]\) ?

[radagast]

prosta pq ma przedstawienie parametryczne: \(l(t)= \left( t+1,t+2,t,t+3,4t+3\right)\)
tu jest policzone jako to L jest równe \(p+t \vec{qp}\), a to nie powinno być \(q+t \vec{qp}\)?-czy to jest bez różnicy?

Tak, to bez różnicy. Ma być wektor równoleły do prostej + dowolny punkt należący do prostej

a to Wektor o początku w punkcie a i końcu na prostej pq ma zetem postać : \(\left[ t+3,t+1,t-3,t+3,4t+1\right]\) jak się liczy???

Współrzędne wektora zawsze liczy się tak samo: od końca odąć początek.

[joanna1234]

a tak, dzięki rozumiem..;D
a tu jest chyba błąd \(\left[ - \frac{2}{5}+3,- \frac{2}{5}+1,- \frac{2}{5}-3,- \frac{2}{5}+3,4 \cdot \left( - \frac{2}{5}\right) +1\right]= \left[ \frac{13}{5} , \frac{3}{5},- \frac{17}{5}, \frac{13}{5},-9 \right]=\frac{ \sqrt{2661} }{5}\)
zamiast 9 powinno byc -3/5

[radagast]

tak, masz racje . Nie wiem skąd mi się ta -9 wzięła