Geometria analityczna

[maryy]

zad 1
Dana jest prosta l: \(\frac{x-1}{2}= \frac{y}{2} = \frac{z}{1}\). Na płaszczyźnie \(\pi_1\) : x-y-z+1=0 znaleźć prostą \(l_1\) równoległą do płaszczyzny \(\pi _2\): x-2y+2z-1=0 i przechodzącą przez punkt A(-1,1,-1). Znaleźć odległość między prostą l i \(l_1\).

zad 6
Przez punkt A(4,0,-1) poprowadź prostą przecinającą dwie proste\(l_1: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{4}= \frac{z-5}{3}\) i \(l_2: \frac{x}{5}= \frac{y-2}{-1}= \frac{z+1}{2}\).


Ad Zad 1
Wiem, że wektor kierunkowy prostej \(l_1\) jest prostopadły do wektora normalnego płaszczyzny \(\pi\) i \(\pi _2\)więc ich iloczyny skalarne są równe 0.

Być może jest jakiś bardzo sprytny sposób na te zadania, ale póki co ja go nie widzę.

[radagast]

1.
Też nie wiem czy jest sprytny sposób. Ja bym robiła tak:
normalny do \(\pi_1\) to \(\left[ 1,-1,-1\right]\) ,
normalny do \(\pi_2\) to \(\left[ 1,-2,2\right]\).
Oba te wektory muszą być prostopadłe do szukanej prostej , a więc musi być ona równoległa do ich iloczynu wektorowego.
\(\left[ 1,-1,-1\right] \times \left[ 1,-2,2\right]= \left[ -4,-3,-4\right]\)
No to przedstawienie parametryczne szukanej prostej juz możemy napisać:
\(p(t)= \left( -4t-1,-3t+1, -4t-1\right)\).
To jeszcze nie koniec zadania, bo jeszcze ta odległość ale to juz innym razem.

[radagast]

1. cd
Te proste są niestety skośne. Wyznaczenie odległości miedzy nimi jest dość pracochłone: http://pl.wikipedia.org/wiki/Proste_sko%C5%9Bne

[radagast]

Zad. 6
na początku znajdę przedstawienia parametryczne prostych \(l_1,l_2\):

\(\left(1,2,5 \right) \in l_1 \\\left(3,6,10 \right) \in l_1\) \(\Rightarrow \left[2,4,5 \right] \parallel l_1 \Rightarrow p(t)= \left(2t+1,4t+2,5t+5 \right)\)-przedstawienie parametryczne prostej \(l_1\)

\(\left(0,2,-1 \right) \in l_2 \\\left(5,1,1 \right) \in l_2\) \(\Rightarrow \left[5,-1,2 \right] \parallel l_2 \Rightarrow p(s)= \left(5s,-s+2,2s-1 \right)\)-przedstawienie parametryczne prostej \(l_2\)

No i teraz, mam nadzieje okaże się dlaczego preferuję przedstawienie parametryczne prostej:
każdy wektor o początku w punkcie \(A=(4,0,-1)\) i końcu na \(l_1\) ma postać \(\left[ 2t-3,2t+2,5t+6\right]\) ,a
każdy wektor o początku w punkcie \(A=(4,0,-1)\) i końcu na \(l_2\) ma postać \(\left[ 5s-4,-s+2,2s\right]\)

Te wektory muszą być równoległe, a wiec
\(\begin{cases} \frac{2t-3}{5s-4}= \frac{2t+2}{-s+2} \\ \frac{2t+2}{-s+2} = \frac{5t+6}{2s} \end{cases}\)
No i z tym układem nie mogę sobie od wczoraj poradzić (paskudne rachunki) moze Tobie się uda...

[maryy]

właśnie też mi jakieś paskudne rachunki wyszły, ale trochę jeszcze się pomęczę to może coś mi wyjdzie . Dzieki.

[anka]

Może to coś uprości:

\(\begin{cases} \frac{2t-3}{5s-4}= \frac{2t+2}{-s+2} \\ \frac{2t+2}{-s+2} = \frac{5t+6}{2s} \end{cases}\)

\(\{(2t-3)(-s+2)=(2t+2)(5s-4)\\ 2s(2t+2)=(5t+6)(-s+2)\)

\(\{- 12st - 7s + 12t + 2=0 \ / \cdot 3\\9st + 10s - 10t - 12=0 \ / \cdot 4\)

\(\{- 36st - 21s + 36t + 6=0\\36st + 40s - 40t - 48=0\)
---------------------------------------------------
\(19s-4t-42=0\)
\(s= \frac{4t+42}{19}\)

Powinno wyjść:
\(\{s= \frac{62}{57} \\t=- \frac{16}{3}\)