TOPOLOGIA II - przestrzenie zwarte

[gosiakh]

Mam problem z rozwiązaniem zadań z przestrzeni zwartych. Będę wdzięczna za pomoc i opisanie tego co tam się dzieje, aby zrozumieć sytuację.

1. Pokazać, że w przestrzeni liczb niewymiernych nie ma punktów lokalnej zwartości.

2. Niech \(S=\left\{(0,0) \right\} \cup \left\{ (x,y): y=sin \frac{1/}{x} dla x \in (0,1] \right\}\) z topologią indukowaną z płaszczyzny.
a) Pokazać, że S nie jest lokalnie zwarta.
b) Pokazać, że \(f:\left\{ -1\right\} \cup (0,1] \rightarrow S\) zdefiniowana: \(f(-1)=(0,0), f(x)=(x,sin \frac{1/}{x} )\) dla \(x \in (0,1]\) jest ciągła.
c) Wywnioskować z b), że ciągły obraz przestrzeni lokalnie zwartej nie musi być lokalnie zwarty.

3. Znaleźć jednopunktowe uzwarcenie zbioru \((0,1]\).

4. Pokazać, że jednopunktowe uzwarcenie zbioru N jest homeomorficzne z \(\left\{ 0\right\} \cup \left\{ \frac{1}{n} : n \in N\right\}\)

5. Pokazać, że jednopunktowe uzwarcenie przestrzeni R jest homeomorficzne z okręgiem \(S ^{1}\)