Ad.1. Rozwiąż ukł.rów.metodą Koneckera-Capellego
\(\begin{cases}2x_1+3x_2-x_3+2x_4=1\\x_1-2x_2+2x_3-x_4=-1\\3x_1-x_3+2x_4=0 \end{cases}\)
Ad.2 Zmienność funkcji.Narysować wykres( opisać funkcję: dziedzina,ekstrema,asymptaty itp.)
\(f(x)=\frac{x^2}{3x-9}\)
Ad.3 Oblicz
\(\lim_{x\to \infty} x^{\frac{1}{x}}\)
Ad.4 Oblicz pole powierzchni figury ograniczonej krzywymi
\(y=x^2-3\\y=3-x^2\)
Ad.5 policz pochodną
\(f(x)=(ln x)^x\)
Błagam o pomoc i bardzo przepraszam o zapis zadań ale jeszcze nie wiem jak poprawnie zapisywać.
Z góry bardzo bardzo dziękuję. Mój mail coolketi@gmail.com
Pochodna, granica, zmiennośc fun. ukł rów.met.Koneckera-Cape
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
2.
\(f(x)=\frac{x^2}{3x-9}\)
1.
Dziedzina
\(3x-9\neq0\\3x\neq9\\x\neq3\\D_f=R \setminus \left\{3 \right\}\)
2.
Granice w końcach przedziałów dziedziny:
\(\lim_{x\to -\infty} \ \frac{x^2}{3x-9}= \lim_{x\to -\infty} \frac{x}{3-\frac{9}{x}}=-\infty\\ \lim_{x\to \infty} \frac{x}{3-\frac{9}{x}}=\infty\\ \lim_{x\to 3_-} \frac{x^2}{3x-9}= \left(\frac{9}{0_-} \right) =-\infty\\ \lim_{x\to 3_+} \frac{x^2}{3x-9}= \left(\frac{9}{0_+} \right) =\infty\)
3.
Punkty przecięcia z osiami układu:
\(f(0)=0\\f(x)=0\ \Leftrightarrow \ x^2=0\ \Leftrightarrow \ x=0\\(0,\ 0)\)
4.
Asymptoty:
- pionowa \(x=3\)
- poziomej nie ma
- ukośne:
\(\lim_{x\to \pm \infty} \frac{f(x)}{x}= \lim_{x\to \pm \infty} \frac{x}{3x-9}= \lim_{x\to \pm \infty} \frac{1}{3-\frac{9}{x}}=\frac{1}{3}\\ \lim_{x\to \pm \infty} (f(x)-\frac{1}{3}x)= \lim_{x\to \pm \infty } \frac{x^2-x(x-3)}{3x-9}= \lim_{x\to \pm \infty } \frac{3x}{3x-9}= \lim_{x\to \pm \infty } \frac{3}{3-\frac{9}{x}}=1\\y=\frac{1}{3}x+1\)
5)
Pochodna:
\(f'(x)=\frac{2x(3x-9)-3x^2}{(3x-9)^2}=\frac{3x(x-6)}{3x-9)^2}\\f'(x)=0\ \Leftrightarrow \ x=0\ \vee\ x=6\\f'(x)>0\ \Leftrightarrow \ x\in(-\infty;\ 0)\ \cup\ (6,\ \infty)\\f'(x)<0\ \Leftrightarrow \ x\in(0,\ 3)\ \cup\ (3;\ 6)\)
6)
Druga pochodna:
\(f"(x)=\frac{(6x-18)(3x-9)^2-(3x^2-18x)\cdot2(3x-9)\cdot3}{(3x-9)^4}=...=\frac{486(x-3)}{(3x-9)^4}\\f"(x)>0\ \Leftrightarrow \ x>3\\f"(x)<0\ \Leftrightarrow \ x<3\\f"(x)\neq0\)
Dla \(x<3\) wykres jest wklęsły, dla \(x>3\) wykres jest wypukły.
7)
Ekstrema
\(x=0\ \Rightarrow \ f_{max}(0)=0\\x=6\ \Rightarrow \ f_{min}(6)=\frac{6^2}{3\cdot6-9}=4\)
Punktów przegięcia nie ma.
8)
Dla \(x\in(-\infty;\ 0>\) oraz dla \(x\in<6;\ \infty)\) funkcja jest rosnąca
Dla \(x\in<0,\ 3)\) oraz dla \(x\in(3;\ 6>\) funkcja jest malejąca.
Wrzuć wzór funkcji tu:
http://www.math.edu.pl/narysuj-wykres-funkcji
to narysuje Ci wykres
\(f(x)=\frac{x^2}{3x-9}\)
1.
Dziedzina
\(3x-9\neq0\\3x\neq9\\x\neq3\\D_f=R \setminus \left\{3 \right\}\)
2.
Granice w końcach przedziałów dziedziny:
\(\lim_{x\to -\infty} \ \frac{x^2}{3x-9}= \lim_{x\to -\infty} \frac{x}{3-\frac{9}{x}}=-\infty\\ \lim_{x\to \infty} \frac{x}{3-\frac{9}{x}}=\infty\\ \lim_{x\to 3_-} \frac{x^2}{3x-9}= \left(\frac{9}{0_-} \right) =-\infty\\ \lim_{x\to 3_+} \frac{x^2}{3x-9}= \left(\frac{9}{0_+} \right) =\infty\)
3.
Punkty przecięcia z osiami układu:
\(f(0)=0\\f(x)=0\ \Leftrightarrow \ x^2=0\ \Leftrightarrow \ x=0\\(0,\ 0)\)
4.
Asymptoty:
- pionowa \(x=3\)
- poziomej nie ma
- ukośne:
\(\lim_{x\to \pm \infty} \frac{f(x)}{x}= \lim_{x\to \pm \infty} \frac{x}{3x-9}= \lim_{x\to \pm \infty} \frac{1}{3-\frac{9}{x}}=\frac{1}{3}\\ \lim_{x\to \pm \infty} (f(x)-\frac{1}{3}x)= \lim_{x\to \pm \infty } \frac{x^2-x(x-3)}{3x-9}= \lim_{x\to \pm \infty } \frac{3x}{3x-9}= \lim_{x\to \pm \infty } \frac{3}{3-\frac{9}{x}}=1\\y=\frac{1}{3}x+1\)
5)
Pochodna:
\(f'(x)=\frac{2x(3x-9)-3x^2}{(3x-9)^2}=\frac{3x(x-6)}{3x-9)^2}\\f'(x)=0\ \Leftrightarrow \ x=0\ \vee\ x=6\\f'(x)>0\ \Leftrightarrow \ x\in(-\infty;\ 0)\ \cup\ (6,\ \infty)\\f'(x)<0\ \Leftrightarrow \ x\in(0,\ 3)\ \cup\ (3;\ 6)\)
6)
Druga pochodna:
\(f"(x)=\frac{(6x-18)(3x-9)^2-(3x^2-18x)\cdot2(3x-9)\cdot3}{(3x-9)^4}=...=\frac{486(x-3)}{(3x-9)^4}\\f"(x)>0\ \Leftrightarrow \ x>3\\f"(x)<0\ \Leftrightarrow \ x<3\\f"(x)\neq0\)
Dla \(x<3\) wykres jest wklęsły, dla \(x>3\) wykres jest wypukły.
7)
Ekstrema
\(x=0\ \Rightarrow \ f_{max}(0)=0\\x=6\ \Rightarrow \ f_{min}(6)=\frac{6^2}{3\cdot6-9}=4\)
Punktów przegięcia nie ma.
8)
Dla \(x\in(-\infty;\ 0>\) oraz dla \(x\in<6;\ \infty)\) funkcja jest rosnąca
Dla \(x\in<0,\ 3)\) oraz dla \(x\in(3;\ 6>\) funkcja jest malejąca.
Wrzuć wzór funkcji tu:
http://www.math.edu.pl/narysuj-wykres-funkcji
to narysuje Ci wykres
1.
Spróbuję trochę pomóc.
Pamiętam, że trzeba znaleźć rząd macierzy złożonej ze współczynników w równaniu.
\(r \begin{bmatrix}2&3&-1&2\\1&-2&2&-1\\3&0&-1&2 \end{bmatrix} =3\)
bo:
\(\begin{vmatrix}2&3&-1\\1&-2&2\\3&0&-1 \end{vmatrix} =4+18-6+3=19\neq0\)
Czyli jedną ze zmiennych trzeba potraktować jako parametr (bo są 4 zmienne).
\(x_4=t\\ \begin{cases}2x_1+3x_2-x_3=1-2t\\x_1-2x_2+2x_3=t-1\\3x_1-x_3=-2t \end{cases}\)
I masz układ cramerowski.
\(W= \begin{vmatrix}2&3&-1\\1&-2&2\\3&0&-1 \end{vmatrix} =4+18-6+3=19\)
\(W_1= \begin{vmatrix}1-2t&3&-1\\t-1&-2&2\\-2t&0&-1 \end{vmatrix} =2(1-2t)-12t+4t+3(t-1)=-9t-1\)
\(W_2= \begin{vmatrix}2&1-2t&-1\\1&t-1&2\\3&-2t&-1\\ \end{vmatrix} =-2(t-1)+6(1-2t)+2t+3(t-1)+8t+1-2t=-3t+6\)
\(W_3= \begin{cases}2&3&1-2t\\1&-2&t-1\\3&0&-2t \end{cases} =8t+9(t-1)+6(1-2t)+6t=11t-3\)
Rozwiązanie:
\(\begin{cases}x_1=\frac{-9t-1}{19}\\x_2=\frac{6-3t}{19}\\x_3=\frac{11t-3}{19}\\x_4=t \end{cases}\)
Sprawdź, czy nie ma pomyłek przy liczeniu wyznaczników. I czy o to chodziło...
P. S. Miałam nadzieję, że ktoś inny się za to weźmie. Ale mam nadzieję, że jest dobrze.
Spróbuję trochę pomóc.
Pamiętam, że trzeba znaleźć rząd macierzy złożonej ze współczynników w równaniu.
\(r \begin{bmatrix}2&3&-1&2\\1&-2&2&-1\\3&0&-1&2 \end{bmatrix} =3\)
bo:
\(\begin{vmatrix}2&3&-1\\1&-2&2\\3&0&-1 \end{vmatrix} =4+18-6+3=19\neq0\)
Czyli jedną ze zmiennych trzeba potraktować jako parametr (bo są 4 zmienne).
\(x_4=t\\ \begin{cases}2x_1+3x_2-x_3=1-2t\\x_1-2x_2+2x_3=t-1\\3x_1-x_3=-2t \end{cases}\)
I masz układ cramerowski.
\(W= \begin{vmatrix}2&3&-1\\1&-2&2\\3&0&-1 \end{vmatrix} =4+18-6+3=19\)
\(W_1= \begin{vmatrix}1-2t&3&-1\\t-1&-2&2\\-2t&0&-1 \end{vmatrix} =2(1-2t)-12t+4t+3(t-1)=-9t-1\)
\(W_2= \begin{vmatrix}2&1-2t&-1\\1&t-1&2\\3&-2t&-1\\ \end{vmatrix} =-2(t-1)+6(1-2t)+2t+3(t-1)+8t+1-2t=-3t+6\)
\(W_3= \begin{cases}2&3&1-2t\\1&-2&t-1\\3&0&-2t \end{cases} =8t+9(t-1)+6(1-2t)+6t=11t-3\)
Rozwiązanie:
\(\begin{cases}x_1=\frac{-9t-1}{19}\\x_2=\frac{6-3t}{19}\\x_3=\frac{11t-3}{19}\\x_4=t \end{cases}\)
Sprawdź, czy nie ma pomyłek przy liczeniu wyznaczników. I czy o to chodziło...
P. S. Miałam nadzieję, że ktoś inny się za to weźmie. Ale mam nadzieję, że jest dobrze.