Proszę o pomoc w rozwiązaniu
Funkcja liniowa
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Funkcja liniowa
Dane są punkty A=(1,5), B=(9,3) i prosta k o równaniu y=x+1. Oblicz współrzędne punktu C leżącego na prostej k, dla którego suma |AC|^2+|BC|^2 jest najmniejsza.
Proszę o pomoc w rozwiązaniu
Proszę o pomoc w rozwiązaniu
-
Galen
- Guru
- Posty: 18457
- Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 9161 razy
Punkt C należy do prostej k o równaniu y=x+1.
Współrzędne \(C=(x;y)=(x;x+1)\;\;\;A=(1;5)\;\;\;\;\;B=(9;3)\)
Oblicz odległości |AC| i |BC|
\(|AC|= \sqrt{(x-1)^2+(x+1-5)^2}= \sqrt{(x-1)^2+(x-4)^2}= \sqrt{2x^2-10x+17}\\
|BC|= \sqrt{(x-9)^2+(x+1-3)^2}= \sqrt{(x-9)^2+(x-2)^2}= \sqrt{2x^2-22x+85}\)
Kwadraty odległości usuną pierwiastki.
\(|AC|^2+|BC|^2=2x^2-10x+17+2x^2-22x+85=4x^2-32x+102=f(x)\)
Suma kwadratów odległości jest funkcją kwadratową i jej najmniejsza wartość jest w wierzchołku
paraboli.
\(f(x)=4x^2-32x+102\\
x_w= \frac{32}{8}=4\)
Pierwsza współrzędna punktu C to x=4,druga to y=x+1=4+1=5.
\(C=(4\;;\;5)\)
Współrzędne \(C=(x;y)=(x;x+1)\;\;\;A=(1;5)\;\;\;\;\;B=(9;3)\)
Oblicz odległości |AC| i |BC|
\(|AC|= \sqrt{(x-1)^2+(x+1-5)^2}= \sqrt{(x-1)^2+(x-4)^2}= \sqrt{2x^2-10x+17}\\
|BC|= \sqrt{(x-9)^2+(x+1-3)^2}= \sqrt{(x-9)^2+(x-2)^2}= \sqrt{2x^2-22x+85}\)
Kwadraty odległości usuną pierwiastki.
\(|AC|^2+|BC|^2=2x^2-10x+17+2x^2-22x+85=4x^2-32x+102=f(x)\)
Suma kwadratów odległości jest funkcją kwadratową i jej najmniejsza wartość jest w wierzchołku
paraboli.
\(f(x)=4x^2-32x+102\\
x_w= \frac{32}{8}=4\)
Pierwsza współrzędna punktu C to x=4,druga to y=x+1=4+1=5.
\(C=(4\;;\;5)\)
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.