Jakie muszą być wymiary walca o danej objętości V, tak aby suma pola powierzchni bocznej i pola tylko jednej podstawy była najmniejsza? Podaj stosunek długości wysokości h do promienia podstawy r.
nie mam pojęcia jak to zrobić :/
Zadanie opytmalizacyjne
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Witam na forum
- Posty: 4
- Rejestracja: 28 sty 2011, 20:08
- Podziękowania: 4 razy
- Płeć:
\(V=\pi\ r^2H\\H=\frac{V}{\pi\ r^2}\)
\(S(r)=\pi\ r^2++2\pi\ r\cdot\frac{V}{\pi\ r^2}=\pi\ r^2+\frac{2V}{r}\\S(r)=\pi\ r^2+\frac{2V}{r}\\S'(r)=2\pi\ r-\frac{2V}{r^2}=\frac{2\pi\ r^3-2V}{r^2}\\S'(r)=0\ \Leftrightarrow \ 2\pi\ r^3-2V=0\\r^3=\frac{V}{\pi}\\r=\sqrt[3]{\frac{V}{\pi}}\\S'(r)>0\ \Leftrightarrow r>\sqrt[3]{\frac{V}{\pi}}\\S'(r)<0\ \Leftrightarrow \ r<\sqrt[3]{\frac{V}{\pi}}\)
Najmniejszą wartość funkcja S(r) przyjmuje dla \(r=\sqrt[3]{\frac{V}{\pi}}\)
\(\frac{H}{r}=\frac{V}{\pi\ r^3}\\\frac{H}{r}=\frac{V}{\pi\cdot\frac{V}{\pi}}=1\)
\(S(r)=\pi\ r^2++2\pi\ r\cdot\frac{V}{\pi\ r^2}=\pi\ r^2+\frac{2V}{r}\\S(r)=\pi\ r^2+\frac{2V}{r}\\S'(r)=2\pi\ r-\frac{2V}{r^2}=\frac{2\pi\ r^3-2V}{r^2}\\S'(r)=0\ \Leftrightarrow \ 2\pi\ r^3-2V=0\\r^3=\frac{V}{\pi}\\r=\sqrt[3]{\frac{V}{\pi}}\\S'(r)>0\ \Leftrightarrow r>\sqrt[3]{\frac{V}{\pi}}\\S'(r)<0\ \Leftrightarrow \ r<\sqrt[3]{\frac{V}{\pi}}\)
Najmniejszą wartość funkcja S(r) przyjmuje dla \(r=\sqrt[3]{\frac{V}{\pi}}\)
\(\frac{H}{r}=\frac{V}{\pi\ r^3}\\\frac{H}{r}=\frac{V}{\pi\cdot\frac{V}{\pi}}=1\)
-
- Witam na forum
- Posty: 4
- Rejestracja: 28 sty 2011, 20:08
- Podziękowania: 4 razy
- Płeć: