Zadanie opytmalizacyjne

Pytania o rozwiązania zadań.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
calineczka666
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 4
Rejestracja: 28 sty 2011, 20:08
Podziękowania: 4 razy
Płeć:

Zadanie opytmalizacyjne

Post autor: calineczka666 »

Jakie muszą być wymiary walca o danej objętości V, tak aby suma pola powierzchni bocznej i pola tylko jednej podstawy była najmniejsza? Podaj stosunek długości wysokości h do promienia podstawy r.

nie mam pojęcia jak to zrobić :/
irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9858 razy
Płeć:

Post autor: irena »

\(V=\pi\ r^2H\\H=\frac{V}{\pi\ r^2}\)

\(S(r)=\pi\ r^2++2\pi\ r\cdot\frac{V}{\pi\ r^2}=\pi\ r^2+\frac{2V}{r}\\S(r)=\pi\ r^2+\frac{2V}{r}\\S'(r)=2\pi\ r-\frac{2V}{r^2}=\frac{2\pi\ r^3-2V}{r^2}\\S'(r)=0\ \Leftrightarrow \ 2\pi\ r^3-2V=0\\r^3=\frac{V}{\pi}\\r=\sqrt[3]{\frac{V}{\pi}}\\S'(r)>0\ \Leftrightarrow r>\sqrt[3]{\frac{V}{\pi}}\\S'(r)<0\ \Leftrightarrow \ r<\sqrt[3]{\frac{V}{\pi}}\)

Najmniejszą wartość funkcja S(r) przyjmuje dla \(r=\sqrt[3]{\frac{V}{\pi}}\)

\(\frac{H}{r}=\frac{V}{\pi\ r^3}\\\frac{H}{r}=\frac{V}{\pi\cdot\frac{V}{\pi}}=1\)
calineczka666
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 4
Rejestracja: 28 sty 2011, 20:08
Podziękowania: 4 razy
Płeć:

Post autor: calineczka666 »

Dzięki, w końcu też do tego sama doszłam, tylko oczywiście pomyliłam znak w pochodnej :P
ODPOWIEDZ