prostopadłościan [717]
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
prostopadłościan [717]
Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu wynosi 552 cm^2, a jego przekątna równa się 17 cm. Suma dwóch nierównych boków podstawy jest o 13 cm większa od wysokości prostopadłościanu. Znależć boki podstawy i wysokość bryły.
Ostatnio zmieniony 21 sty 2011, 16:16 przez komar89, łącznie zmieniany 1 raz.
a, b- krawędzie podstawy
c- wysokość
\(\begin{cases}2ab+2ac+2bc=552\\a^2+b^2+c^2=17^2\\a+b=c+13 \end{cases}\)
Z drugiego równania:
\(a^2+b^2=289-c^2\\(a+b)^2-2ab=289-c^2\)
Z pierwszego równania:
\(2ab+c(a+b)=552\\2ab=552-2c(a+b)\)
Z trzeciego równania:
\(a+b=c+13{\)
Podstawiamy:
\((c+13)^2-(552-2c(c+13))=289-c^2\\c^2+26c+169-552+2c^2+26c=289-c^2\)
\(4c^2+52c-672=0\\c^2+13c-168=0\\\Delta=169+672=841\\\sqrt{\Delta}=29\\c_1=\frac{-13-29}{2}<0\ \vee\ c_2=\frac{-13+29}{2}\\c>0\\c=8\)
\(\begin{cases}a+b=8+13\\a^2+b^2+8^2=17^2 \end{cases}\\b=21-a\\a^2+(21-a)^2+64=289\\a^2+441-42a+a^2-225=0\\2a^2-42a+216=0\\a^2-21a+108=0\\\Delta=441-432=9\\a_1=\frac{21-3}{2}= 9\ \vee\ a_2=\frac{21+3}{2}=12\\b_1=12\ \vee\ b_2=9\)
Krawędzie podstawy mają długości 12 i 9, a wysokość wynosi 8.
c- wysokość
\(\begin{cases}2ab+2ac+2bc=552\\a^2+b^2+c^2=17^2\\a+b=c+13 \end{cases}\)
Z drugiego równania:
\(a^2+b^2=289-c^2\\(a+b)^2-2ab=289-c^2\)
Z pierwszego równania:
\(2ab+c(a+b)=552\\2ab=552-2c(a+b)\)
Z trzeciego równania:
\(a+b=c+13{\)
Podstawiamy:
\((c+13)^2-(552-2c(c+13))=289-c^2\\c^2+26c+169-552+2c^2+26c=289-c^2\)
\(4c^2+52c-672=0\\c^2+13c-168=0\\\Delta=169+672=841\\\sqrt{\Delta}=29\\c_1=\frac{-13-29}{2}<0\ \vee\ c_2=\frac{-13+29}{2}\\c>0\\c=8\)
\(\begin{cases}a+b=8+13\\a^2+b^2+8^2=17^2 \end{cases}\\b=21-a\\a^2+(21-a)^2+64=289\\a^2+441-42a+a^2-225=0\\2a^2-42a+216=0\\a^2-21a+108=0\\\Delta=441-432=9\\a_1=\frac{21-3}{2}= 9\ \vee\ a_2=\frac{21+3}{2}=12\\b_1=12\ \vee\ b_2=9\)
Krawędzie podstawy mają długości 12 i 9, a wysokość wynosi 8.