Udowodnij niewymierność...

Pytania o rozwiązania zadań.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
poszukiwacz
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 25
Rejestracja: 19 lut 2009, 20:21

Udowodnij niewymierność...

Post autor: poszukiwacz » 20 lut 2009, 22:11

Wykaz, że \(\sqrt{2}+\sqrt[3]{2}\) jest liczbą niewymierną.

Awatar użytkownika
escher
Moderator
Moderator
Posty: 308
Rejestracja: 26 wrz 2008, 13:41
Podziękowania: 1 raz
Otrzymane podziękowania: 67 razy

Post autor: escher » 19 mar 2009, 23:40

Oznaczmy przez \(t=\sqrt[6]{2}\), wtedy nasza liczba to \(x=t^3+t^2\).
\(t^2=\sqrt[3]{2}\) jest liczbą niewymierną, bo jest pierwiastkiem wielomianu \(x^3-2\), który nie ma pierwiastków wymiernych (na mocy twierdzenia o pierwiastkach wymiernych mogłoby to być tylko -2, -1, 1 lub 2).

Dla zadanej w zadaniu liczby także można spróbować znaleźć wielomian o współczynnikach całkowitych, którego jest ona pierwiastkiem i pokazać, że ten wielomian nie ma pierwiastków wymiernych. Ale pokombinujemy inaczej - tak, żeby za długie wielomiany się nie palątały.
Jeśli nasze \(x\) jest liczbą wymierną, to wymierne są również:

\(x^2=t^4+2t^5+2\), a stąd \(y=t^4+2t^5\).

\(xy=2+6t+4t^2\Rightarrow z=3t+2t^2 \in\mathbb{Q}\)

\(yz=3t^5+16+8t \Rightarrow 8t+3t^5\in\mathbb{Q} \Rightarrow 64t^2+96+36t^4\in\mathbb{Q}\)
Stąd \(32t^2+9t^4\in\mathbb{Q}\)

\((z-2x)^2=9t^2-12t^4+8 \Rightarrow 3t^2-4t^4\in\mathbb{Q}\)

Możemy teraz "zredukować" \(t^4\), bo
\(4(32t^2+9t^4)+9(3t^2-4t^4)=(128+27)t^2\Rightarrow t^2\in\mathbb{Q}\)

Otrzymaliśmy sprzeczność, która dowodzi, że liczba \(x\) jest niewymierna.

Nie wiem, czy podany ciąg zależności jest najprostszym z możliwych - można kombinować inaczej, ale idea polega na tym, aby doprowadzić do wniosku, że pojedyncza potęga \(t\) niepodzielna przez 6 jest liczbą wymierną, co jest nieprawdą.
escher

Awatar użytkownika
anka
Expert
Expert
Posty: 6568
Rejestracja: 30 sty 2009, 00:25
Podziękowania: 26 razy
Otrzymane podziękowania: 1109 razy
Płeć:

Post autor: anka » 19 mar 2009, 23:42

Znasz odpowiedź do zadania, to ją podaj. Łatwiej będzie sprawdzić czy w rozwiązaniu zadania nie ma błędu.

Awatar użytkownika
escher
Moderator
Moderator
Posty: 308
Rejestracja: 26 wrz 2008, 13:41
Podziękowania: 1 raz
Otrzymane podziękowania: 67 razy

Post autor: escher » 20 mar 2009, 15:05

No tak. Moc supergolonki. Jakoś nie wpadł mi do głowy ten prosty sposób pozbycia się pierwiastków.
Rozwiązanie supergolonki oczywiście ładniejsze.
escher