Udowodnij niewymierność...
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
poszukiwacz
- Dopiero zaczynam
- Posty: 25
- Rejestracja: 19 lut 2009, 19:21
-
escher
- Moderator
- Posty: 308
- Rejestracja: 26 wrz 2008, 13:41
- Podziękowania: 1 raz
- Otrzymane podziękowania: 68 razy
Oznaczmy przez \(t=\sqrt[6]{2}\), wtedy nasza liczba to \(x=t^3+t^2\).
\(t^2=\sqrt[3]{2}\) jest liczbą niewymierną, bo jest pierwiastkiem wielomianu \(x^3-2\), który nie ma pierwiastków wymiernych (na mocy twierdzenia o pierwiastkach wymiernych mogłoby to być tylko -2, -1, 1 lub 2).
Dla zadanej w zadaniu liczby także można spróbować znaleźć wielomian o współczynnikach całkowitych, którego jest ona pierwiastkiem i pokazać, że ten wielomian nie ma pierwiastków wymiernych. Ale pokombinujemy inaczej - tak, żeby za długie wielomiany się nie palątały.
Jeśli nasze \(x\) jest liczbą wymierną, to wymierne są również:
\(x^2=t^4+2t^5+2\), a stąd \(y=t^4+2t^5\).
\(xy=2+6t+4t^2\Rightarrow z=3t+2t^2 \in\mathbb{Q}\)
\(yz=3t^5+16+8t \Rightarrow 8t+3t^5\in\mathbb{Q} \Rightarrow 64t^2+96+36t^4\in\mathbb{Q}\)
Stąd \(32t^2+9t^4\in\mathbb{Q}\)
\((z-2x)^2=9t^2-12t^4+8 \Rightarrow 3t^2-4t^4\in\mathbb{Q}\)
Możemy teraz "zredukować" \(t^4\), bo
\(4(32t^2+9t^4)+9(3t^2-4t^4)=(128+27)t^2\Rightarrow t^2\in\mathbb{Q}\)
Otrzymaliśmy sprzeczność, która dowodzi, że liczba \(x\) jest niewymierna.
Nie wiem, czy podany ciąg zależności jest najprostszym z możliwych - można kombinować inaczej, ale idea polega na tym, aby doprowadzić do wniosku, że pojedyncza potęga \(t\) niepodzielna przez 6 jest liczbą wymierną, co jest nieprawdą.
escher
\(t^2=\sqrt[3]{2}\) jest liczbą niewymierną, bo jest pierwiastkiem wielomianu \(x^3-2\), który nie ma pierwiastków wymiernych (na mocy twierdzenia o pierwiastkach wymiernych mogłoby to być tylko -2, -1, 1 lub 2).
Dla zadanej w zadaniu liczby także można spróbować znaleźć wielomian o współczynnikach całkowitych, którego jest ona pierwiastkiem i pokazać, że ten wielomian nie ma pierwiastków wymiernych. Ale pokombinujemy inaczej - tak, żeby za długie wielomiany się nie palątały.
Jeśli nasze \(x\) jest liczbą wymierną, to wymierne są również:
\(x^2=t^4+2t^5+2\), a stąd \(y=t^4+2t^5\).
\(xy=2+6t+4t^2\Rightarrow z=3t+2t^2 \in\mathbb{Q}\)
\(yz=3t^5+16+8t \Rightarrow 8t+3t^5\in\mathbb{Q} \Rightarrow 64t^2+96+36t^4\in\mathbb{Q}\)
Stąd \(32t^2+9t^4\in\mathbb{Q}\)
\((z-2x)^2=9t^2-12t^4+8 \Rightarrow 3t^2-4t^4\in\mathbb{Q}\)
Możemy teraz "zredukować" \(t^4\), bo
\(4(32t^2+9t^4)+9(3t^2-4t^4)=(128+27)t^2\Rightarrow t^2\in\mathbb{Q}\)
Otrzymaliśmy sprzeczność, która dowodzi, że liczba \(x\) jest niewymierna.
Nie wiem, czy podany ciąg zależności jest najprostszym z możliwych - można kombinować inaczej, ale idea polega na tym, aby doprowadzić do wniosku, że pojedyncza potęga \(t\) niepodzielna przez 6 jest liczbą wymierną, co jest nieprawdą.
escher
