Rozwiąż równanie różniczkowe

Pytania o rozwiązania zadań.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Zibi123
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 72
Rejestracja: 19 sty 2021, 23:58
Podziękowania: 32 razy

Rozwiąż równanie różniczkowe

Post autor: Zibi123 » 11 maja 2022, 21:51

Rozwiąż równanie różniczkowe
\(\frac{dy}{dx} =6 \cos (x-y) \)

kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2653
Rejestracja: 14 lis 2016, 15:38
Podziękowania: 26 razy
Otrzymane podziękowania: 1162 razy
Płeć:

Re: Rozwiąż równanie różniczkowe

Post autor: kerajs » 11 maja 2022, 22:13

\(t=x-y \ \ \So \ \ t'_x=1-y'x \\
1-t'=\cos t \\
\int_{}^{} \frac{dt}{1-\cos t} = \int_{}^{} dx\)

sugeruję przejście na kąt t'/2

Zibi123
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 72
Rejestracja: 19 sty 2021, 23:58
Podziękowania: 32 razy

Re: Rozwiąż równanie różniczkowe

Post autor: Zibi123 » 12 maja 2022, 20:09

Nie za bardzo wiem jak to zrobić

Zibi123
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 72
Rejestracja: 19 sty 2021, 23:58
Podziękowania: 32 razy

Re: Rozwiąż równanie różniczkowe

Post autor: Zibi123 » 14 maja 2022, 15:26

Proszę o pomoc

radagast
Guru
Guru
Posty: 17368
Rejestracja: 09 lis 2010, 08:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 37 razy
Otrzymane podziękowania: 7351 razy
Płeć:

Re: Rozwiąż równanie różniczkowe

Post autor: radagast » 14 maja 2022, 16:06

\( \int_{}^{} \frac{dt}{1-\cos t} = \int_{}^{} dx\)
czyli
\(\displaystyle x= \int \frac{dt}{1-\cos t} \)
no to policzmy tę całkę tak jak sugerował Kerajs:
\(\displaystyle \int \frac{dt}{1-\cos t} =\int \frac{dt}{1- \frac{1-tg^2 \frac{t}{2} }{1+tg^2 \frac{t}{2}} }= \begin{vmatrix} tg \frac{t}{2}=u\\t=2\arctg u \\ dt= \frac{2du }{1+u^2} \end{vmatrix} =\int \frac{\frac{2du }{1+u^2}}{1- \frac{1-u^2 }{1+u^2} }= \int \frac{2du}{1+u^2- 1+u^2 }= \int \frac{du}{u^2 }=...\)
dalej już łatwo

Zibi123
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 72
Rejestracja: 19 sty 2021, 23:58
Podziękowania: 32 razy

Re: Rozwiąż równanie różniczkowe

Post autor: Zibi123 » 14 maja 2022, 16:35

Ok czyli wychodzi \(x=- \frac{1}{ \tg \frac{t}{2} } \)?

radagast
Guru
Guru
Posty: 17368
Rejestracja: 09 lis 2010, 08:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 37 razy
Otrzymane podziękowania: 7351 razy
Płeć:

Re: Rozwiąż równanie różniczkowe

Post autor: radagast » 14 maja 2022, 22:38

właściwie tak ale zapisałabym to raczej : \(x=- \frac{1}{ \tg \frac{x-y}{2} } =\ctg \frac{y-x}{2} \)
czyli \(y= x+2\arcctg x \)

kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2653
Rejestracja: 14 lis 2016, 15:38
Podziękowania: 26 razy
Otrzymane podziękowania: 1162 razy
Płeć:

Re: Rozwiąż równanie różniczkowe

Post autor: kerajs » 16 maja 2022, 12:33

radagast pisze:
14 maja 2022, 16:06
no to policzmy tę całkę tak jak sugerował Kerajs:
\(\displaystyle \int \frac{dt}{1-\cos t} =\int \frac{dt}{1- \frac{1-tg^2 \frac{t}{2} }{1+tg^2 \frac{t}{2}} }= \begin{vmatrix} tg \frac{t}{2}=u\\t=2\arctg u \\ dt= \frac{2du }{1+u^2} \end{vmatrix} =\int \frac{\frac{2du }{1+u^2}}{1- \frac{1-u^2 }{1+u^2} }= \int \frac{2du}{1+u^2- 1+u^2 }= \int \frac{du}{u^2 }=...\)
Sugerowałem coś takiego:
\( \int \frac{dt}{1-\cos t} = \int \frac{dt}{1-(1-2\sin^2 \frac{t}{2}) } =\int \frac{ \frac{dt}{2} }{\sin^2 \frac{t}{2} } =-\ctg \frac{t}{2}+C \)

Co do równania różniczkowego, to w rozwiązaniu brakuje stałej.