uzasadnienie

[cheruille]

Jeśli funkcja \(f\) jest ciągła w \((- \infty , \infty )\) i nieparzysta, to \( \int_{ -\infty }^{ \infty } f(x)dx=0 \).
Zdanie fałszywe, ale jak to uzasadnić?

[Jerry]

Z nieparzystości:
\(\int_{-\infty}^0f(x)dx=-\int_0^{+\infty}f(x)dx\)
a
\(\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx=\int_{-\infty}^0f(x)dx+\int_0^{+\infty}f(x)dx\)

Pozdrawiam

[cheruille]

Z nieparzystości:
\(\int_{-\infty}^0f(x)dx=-\int_0^{+\infty}f(x)dx\)
a
\(\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx=\int_{-\infty}^0f(x)dx+\int_0^{+\infty}f(x)dx\)

Pozdrawiam

a z czego wynika to drugie równanie?

[eresh]

a z czego wynika to drugie równanie?

\((-\infty,\infty)=(-\infty, 0)\cup [0,\infty)\)

[Tmkk]

Czyli twierdzicie, że \(\int_{-\infty}^{\infty} x\mbox{d}x = 0\)?

[Jerry]

Czyli twierdzicie, że \(\int_{-\infty}^{\infty} x\mbox{d}x = 0\)?

Tak, nie wierzysz, to policz!

Pozdrawiam

[Tmkk]

nie mogę się z tym zgodzić, no ale ok, liczę:

\(\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx=\int_{-\infty}^0f(x)dx+\int_0^{+\infty}f(x)dx\)

\(\int_{-\infty}^0x\mbox{d}x = -\infty\)
\(\int_0^{+\infty}x\mbox{d}x = +\infty\)

hmm...

[Icanseepeace]

Jeśli funkcja \(f\) jest ciągła w \((- \infty , \infty )\) i nieparzysta, to \( \int_{ -\infty }^{ \infty } f(x)dx=0 \).
Zdanie fałszywe, ale jak to uzasadnić?

Najszybciej kontrprzykładem.
\( \Lim_{t \to \infty} \int_{-t}^{2t} \frac{2x}{x^2 + 1} dx =\ln(4) \neq 0 \)

[Jerry]

... kontrprzykładem.
\( \Lim_{t \to \infty} \int_{-t}^{2t} \frac{2x}{x^2 + 1} dx =\ln(4) \neq 0 \)

A
\(\Lim_{t \to \infty} \int_{-2t}^{t} \frac{2x}{x^2 + 1} dx =-\ln 4\)
czyli
\(\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{2x}{x^2 + 1} dx =\mbox{ nie istnieje}\)
Pomimo wszystko, wobec nieparzystości, liczyłbym
\(\Lim_{t \to \infty} \int_{-t}^{t} \frac{2x}{x^2 + 1} dx =0\)
i trwał w przekonaniu...

Pozdrawiam

[edited] Interesująca może być odpowiedź egzaminatora!

[Icanseepeace]

... kontrprzykładem.
\( \Lim_{t \to \infty} \int_{-t}^{2t} \frac{2x}{x^2 + 1} dx =\ln(4) \neq 0 \)

A
\(\Lim_{t \to \infty} \int_{-2t}^{t} \frac{2x}{x^2 + 1} dx =-\ln 4\)
czyli
\(\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{2x}{x^2 + 1} dx =\mbox{ nie istnieje}\)

Oczywiście, że nie istnieje( całka nie jest zbieżna).

Pomimo wszystko, wobec nieparzystości, liczyłbym
\(\Lim_{t \to \infty} \int_{-t}^{t} \frac{2x}{x^2 + 1} dx =0\)

Tutaj liczysz wartość główną całki, więc wypada to stosownie zaznaczyć:
\(
p.v. \int\limits_{-\infty}^{\infty} \frac{2x}{1 + x^2} dx = 0
\)
Dołączam również link do nieomylnego wolframa:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=i ... inf+to+inf