rozniczki
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Fachowiec
- Posty: 1428
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 1 raz
- Otrzymane podziękowania: 387 razy
Re: rozniczki
Problem Cauchy dla równania różniczkowego zwyczajnego - liniowego II rzędu - jednorodnego.
\( \begin{cases} 2y^{''} = 3y^2 \\ y(-2) = 1, \ \ y^{'}(-2) = -1 \end{cases} \)
\( 2y^{''} -3y^2 = 0 \)
\( y = e^{r\cdot x}.\)
Równanie charakterystyczne
\( 2r^2 - 3 = 0 \)
\( r_{1} = -\sqrt{\frac{3}{2}}, \ \ r_{2} = \sqrt{\frac{3}{2}}.\)
Rozwiązanie ogólne równania jednorodnego
\( y(x) = C_{1} e^{-\sqrt{\frac{3}{2}}x} + C_{2} e^{\sqrt{\frac{3}{2}}x} \)
Proszę podstawić warunki początkowe i wyznaczyć wartości stałych \( C_{1}, \ \ C_{2}.\)
Uwaga
To nie są różniczki, to jest równanie różniczkowe- zwyczajne.
\( \begin{cases} 2y^{''} = 3y^2 \\ y(-2) = 1, \ \ y^{'}(-2) = -1 \end{cases} \)
\( 2y^{''} -3y^2 = 0 \)
\( y = e^{r\cdot x}.\)
Równanie charakterystyczne
\( 2r^2 - 3 = 0 \)
\( r_{1} = -\sqrt{\frac{3}{2}}, \ \ r_{2} = \sqrt{\frac{3}{2}}.\)
Rozwiązanie ogólne równania jednorodnego
\( y(x) = C_{1} e^{-\sqrt{\frac{3}{2}}x} + C_{2} e^{\sqrt{\frac{3}{2}}x} \)
Proszę podstawić warunki początkowe i wyznaczyć wartości stałych \( C_{1}, \ \ C_{2}.\)
Uwaga
To nie są różniczki, to jest równanie różniczkowe- zwyczajne.
-
- Fachowiec
- Posty: 1428
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 1 raz
- Otrzymane podziękowania: 387 razy
Re: rozniczki
Dzięki za zwrócenie uwagi.
Równanie różniczkowe zwyczajne II rzędu - nieliniowe.
\( \begin{cases} 2y^{''} = 3y^2 \\ y(-2) = 1, \ \ y^{'}(-2) = -1 \end{cases} \)
Podstawienie;
\( y' = p \)
\( 2p\cdot \frac{dp}{dy} = 3y^2 |\cdot \frac{1}{2}\)
\( p\cdot \frac{dp}{dy} = \frac{3}{2}y^2 \)
\( pdp = \frac{3}{2}y^2 dy \)
\( \int p dp = \frac{3}{2} \int y^2 dy \)
\( \frac{p^2}{2} = \frac{3}{6} y^3 + C_{1} |\cdot 2 \)
\( p^2 = y^{3} + C_{2}, \ \ \ C_{2} = 2C_{1}.\)
\( p = \pm \sqrt{y^3 + C_{2}} \)
\( \frac{dy}{dx} = \sqrt{y^3 + C_{2}} \vee \frac{dy}{dx} = - \sqrt{y^3 + C_{2}}. \)
Zajmujemy się pierwszym przypadkiem
\( \frac{dy}{dx} = \sqrt{y^3 + C_{2}} \ \ (1) \)
Rozdzielając zmienne i całkując obustronnie otrzymujemy
\( x + C_{3} = \int (y^3 + C_{2})^{-\frac{1}{2}}dy \ \ (*) \)
Po prawej stronie równania występuje całka z różniczki dwumiennej
\( \int x^{m} (a +bx^{n})^{p} dx \) dla \( m=0, \ \ b =1, \ \ n =3, \ \ p = -\frac{1}{2} \)
Całka taka, jak wykazał Pafnutij Czebyszow nie wyraża się się przez funkcję elementarną, ponieważ
\( (m + p = 0 -\frac{1}{2} = -\frac{1}{2} \notin \zz \)
Uwzlędniając warunki początkowe na podstawie \( (1) \) otrzymujemy [tex C_{2}= 0 [/tex]
\( \frac{dy}{dx} = \sqrt{ y^3}\)
\( \frac{dy}{y^{\frac{3}{2}}} = dx \)
\( y ^{-\frac{1}{2}} = -\frac{1}{2} x + C \)
\( y = \frac{4}{(2C -x)^2} \)
Uwzględniamy warunek początkowy
\( 1 = \frac{4}{ (2C + 2)^2} \)
Skąd
\( C = 0 \) lub \( C = -4 \)
\( y = \frac{4}{x^2} \) lub \( y = \frac{4}{(-8 - x)^2} = \frac{4}{(8 + x)^2}. \)
Równanie różniczkowe zwyczajne II rzędu - nieliniowe.
\( \begin{cases} 2y^{''} = 3y^2 \\ y(-2) = 1, \ \ y^{'}(-2) = -1 \end{cases} \)
Podstawienie;
\( y' = p \)
\( 2p\cdot \frac{dp}{dy} = 3y^2 |\cdot \frac{1}{2}\)
\( p\cdot \frac{dp}{dy} = \frac{3}{2}y^2 \)
\( pdp = \frac{3}{2}y^2 dy \)
\( \int p dp = \frac{3}{2} \int y^2 dy \)
\( \frac{p^2}{2} = \frac{3}{6} y^3 + C_{1} |\cdot 2 \)
\( p^2 = y^{3} + C_{2}, \ \ \ C_{2} = 2C_{1}.\)
\( p = \pm \sqrt{y^3 + C_{2}} \)
\( \frac{dy}{dx} = \sqrt{y^3 + C_{2}} \vee \frac{dy}{dx} = - \sqrt{y^3 + C_{2}}. \)
Zajmujemy się pierwszym przypadkiem
\( \frac{dy}{dx} = \sqrt{y^3 + C_{2}} \ \ (1) \)
Rozdzielając zmienne i całkując obustronnie otrzymujemy
\( x + C_{3} = \int (y^3 + C_{2})^{-\frac{1}{2}}dy \ \ (*) \)
Po prawej stronie równania występuje całka z różniczki dwumiennej
\( \int x^{m} (a +bx^{n})^{p} dx \) dla \( m=0, \ \ b =1, \ \ n =3, \ \ p = -\frac{1}{2} \)
Całka taka, jak wykazał Pafnutij Czebyszow nie wyraża się się przez funkcję elementarną, ponieważ
\( (m + p = 0 -\frac{1}{2} = -\frac{1}{2} \notin \zz \)
Uwzlędniając warunki początkowe na podstawie \( (1) \) otrzymujemy [tex C_{2}= 0 [/tex]
\( \frac{dy}{dx} = \sqrt{ y^3}\)
\( \frac{dy}{y^{\frac{3}{2}}} = dx \)
\( y ^{-\frac{1}{2}} = -\frac{1}{2} x + C \)
\( y = \frac{4}{(2C -x)^2} \)
Uwzględniamy warunek początkowy
\( 1 = \frac{4}{ (2C + 2)^2} \)
Skąd
\( C = 0 \) lub \( C = -4 \)
\( y = \frac{4}{x^2} \) lub \( y = \frac{4}{(-8 - x)^2} = \frac{4}{(8 + x)^2}. \)