Równanie różniczkowe

[EatonFS]

Rozwiąż równanie różniczkowe liniowe o stałych współczynnikach metodą przewidywań:
\(y'+3y=xe^{2x} \)

[panb]

Rozwiąż równanie różniczkowe liniowe o stałych współczynnikach metodą przewidywań:
\(y'+3y=xe^{2x} \)

Równanie jednorodne:
\(y'+3y=0 \iff \frac{dy}{dx}=-3y \So \frac{dy}{y} =-3{dx} \So \ln y=-3x+c \So y=Ce^{-3x} \)
Przewidujemy \(y_s=e^{2x}(ax+b)\)
\(y'_s=2e^{2x}(ax+b)+ae^{2x} \So y'_s+3y_s\equiv xe^{2x} \iff 2e^{2x}(ax+b)+ae^{2x}+3e^{2x}(ax+b)\equiv xe^{2x}\\
e^{2x}(2ax+2b+a+3ax+3b)=xe^{2x} \So a+5b=0, \,\,\,5a=1 \So a= \frac{1}{5} ,\,\, b=- \frac{1}{25} \So y_s= \frac{1}{25}(5x-1)e^{2x} \)

Odpowiedź: \(y=Ce^{-3x}+\frac{1}{25}(5x-1)e^{2x}\)