Pole powierzchni sfery/paraboloidy

Pytania o rozwiązania zadań.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
saymyname200
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 10
Rejestracja: 31 mar 2020, 13:42
Podziękowania: 10 razy
Płeć:

Pole powierzchni sfery/paraboloidy

Post autor: saymyname200 »

Zad 1:Oblicz pole powierzchni jaka ze sfery o równaniu \( x^{2} + y^{2} + z^{2}= 5\)
odcina płaszczyzna \(z = 1\).
Zadanie 2: Obliczyć pole powierzchni będącej częścią paraboloidy \(z = x^{2} + y^{2}\)
odcięta przez płaszczyznę \(z = 1\).

wiem, że trzeba wprowadzić współrzędne biegunowe.
W pierwszym moim zdaniem trzeba obliczyć iloczyn kartezjański z \((0,2\pi) \times (0, 2 )\) ale robię to na czuja i jakby ktoś mi podpowiedział czy to jest dobry trop? bo nie wiem czy v ogranicza to, że jak podstawimy za\( z=1\), to wtedy promień wychodzi \(2\)
i \(X(u,v)=( \sqrt{5}\cos {u}\cos{v}, \sqrt{5}\sin{u}\sin{v},0) \)
kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2963
Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
Podziękowania: 33 razy
Otrzymane podziękowania: 1303 razy
Płeć:

Re: Pole powierzchni sfery/paraboloidy

Post autor: kerajs »

1.
\(\int_{-2}^{2} ( \int_{- \sqrt{4-x^{2}} }^{ \sqrt{4-x^{2}}} \sqrt{1+( \frac{x}{ \sqrt{5-x^2+y^2} } )^{2}+( \frac{y}{ \sqrt{5-x^2+y^2} } )^{2}}dy)dx =
\int_{0}^{2\pi} ( \int_{0}^{2} \sqrt{ \frac{5}{5-r^2} } rdr )d \alpha=...\)

2.
\(\int_{-1}^{1} ( \int_{- \sqrt{1-x^{2}} }^{ \sqrt{1-x^{2}}} \sqrt{1+( 2x )^{2}+( 2y )^{2}}dy)dx =
\int_{0}^{2\pi} ( \int_{0}^{1} \sqrt{ 1+4r^2 } rdr )d \alpha=...\)
saymyname200
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 10
Rejestracja: 31 mar 2020, 13:42
Podziękowania: 10 razy
Płeć:

Re: Pole powierzchni sfery/paraboloidy

Post autor: saymyname200 »

kerajs pisze: 03 cze 2020, 19:13 1.
\(\int_{-2}^{2} ( \int_{- \sqrt{4-x^{2}} }^{ \sqrt{4-x^{2}}} \sqrt{1+( \frac{x}{ \sqrt{5-x^2+y^2} } )^{2}+( \frac{y}{ \sqrt{5-x^2+y^2} } )^{2}}dy)dx =
\int_{0}^{2\pi} ( \int_{0}^{2} \sqrt{ \frac{5}{5-r^2} } rdr )d \alpha=...\)

2.
\(\int_{-1}^{1} ( \int_{- \sqrt{1-x^{2}} }^{ \sqrt{1-x^{2}}} \sqrt{1+( 2x )^{2}+( 2y )^{2}}dy)dx =
\int_{0}^{2\pi} ( \int_{0}^{1} \sqrt{ 1+4r^2 } rdr )d \alpha=...\)
Próbuje to dokończyć i czy jest to dobry wynik?
2) podstawiam
\(t=1+4r^{2} \\
dt=8r \\
dr = \frac{dt}{8}
\)

i wychodzi \( \int_{0}^{2 \pi} \int_{0 }^{2} \sqrt{t} \frac{dt}{8}d \alpha = \frac{1}{8} \int_{0}^{2 \pi}[\frac{t^{\frac{2}{3}}}{\frac{3}{2}}]_{0}^{2}=\frac{5^{\frac{3}{2}}-1}{6}\pi\)

a w 1) \(-2 \sqrt{5} \pi + 10 \pi\)
Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Re: Pole powierzchni sfery/paraboloidy

Post autor: panb »

Oba wyniki OK.
ODPOWIEDZ