trygonometria wzór dla sin (n alpha )

Co wam tylko przyjdzie do głowy.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Awatar użytkownika
KamilWit
Moderator
Moderator
Posty: 1484
Rejestracja: 07 lip 2011, 18:12
Podziękowania: 370 razy
Otrzymane podziękowania: 266 razy
Płeć:

trygonometria wzór dla sin (n alpha )

Post autor: KamilWit »

jak wyznaczyć wzór na
\(sin ( n \ \cdot \ \ \alpha \ ) = ? \\
cos ( n \ \cdot \ \ \alpha \ ) = ?\)


skorzystamy z liczb zespolonych nie musi być to trudne nawet dla kogoś kto ich nie zna
wystarczy tylko przy ostatecznym zapisie skorzystać z faktu, że \(i^2 = - 1\)
dla \(i^3 = i \ \cdot \ i^2 = - 1 \ \cdot \ i\)
analogicznie postępujemy w przypadku innych potęg nieparzystych. w przypadku potęg parzystych:
\(\color{violet}i^6 = i^2 \ \cdot \ i^4 = -1 \ \cdot \ (i^2)^2 = -1 \ \cdot \ (-1)^2 = -1 \ \cdot \ 1 = -1\)
lub
\(i^6 = (i^2)^3 = (-1)^3 = -1\)
Zapisujemy:
\(z = cos \alpha + i \ \cdot \ sin \alpha\)
chcemy obliczć dla \(\color{red}2\)
więc
\(( cos \alpha + i \ \cdot \ sin \alpha)^{\color{red}{2}}\)\(= cos^2 \alpha + 2 \ \cdot \ i \ \cdot \ cos \alpha \ \cdot \ sin \alpha + i^2 \ \cdot \ sin^2 \alpha = cos^2 \alpha + 2 \ \cdot \ i \ \cdot \ cos \alpha \ \cdot \ sin \alpha - \ \cdot \ sin^2 \alpha\)
następnie podstawiamy gotowy wzór, te wyrazy , które nie zawierają \(i\) do cosinusa, te które zawierają \(i\) podstawiamy do sinusa , pamiętając, że podstawiając kasujemy \(i\)
czyli :
\(\color{blue}cos ( 2 \alpha) = cos^2 \ \alpha \ - sin^2 \ \alpha \\)
natomiast sinus to reszta wyrazów , ale usuwamy \(i\) przy podstawianiu
\(\color{pink}sin ( 2 \ \alpha \ ) = 2 \ \cdot \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha \\)

analogicznie postępując możemy otrzymać np.
\(sin ( 3 \alpha )\)
tylko wtedy podnosimy do \(\color{green}3\) potęgi

o tyle ile w przypadku \(2\) potęgi wystarczy skorzystać, ze wzorów dla sumy sinusów / cosiunsów
podstawiając za bete i alfe - > \(\ \alpha \\) , tyle dla 3 potęgi skorzystanie z tych wzorów staję się żmudne.

update:
\(( cos x + i sinx)^2 = \ cos^2 x - sin^2 x + 2i \ \sin x \ \cos x \\
(cos (2 x) = cos^2 x - sin^2 x \\
sin(2x) = 2sinxcosx\\ \\
cos(x+y) = cosx \ cosy - sinx \ siny \\\\
sin(x+y) = sinx \ cos y + sin y \ cos x \\\\
cos(x-y) = cosx \ cosy + sinx \ siny \\\\
sin(x-y) = sinx \ \ cos y - sin y \ cos x \\\\
\\ \alpha = x+y \\ \beta = x - y \\\\
\alpha + \beta = 2x \Leftrightarrow x = \ \frac { \alpha + \beta }{2 }\\\\
\alpha -\beta = 2y \Leftrightarrow y =\ \frac { \alpha - \beta }{ 2}
\\
sin \alpha + sin \beta = sin(x+y) + sin(x-y) = sinx \ \ cos y + sin y \ cos x \\ + sinx \ \ cos y - sin y \ cos x \\ = 2 sin x cos y = 2 sin(\ \frac { \alpha + \beta }{2 }) cos( \frac { \alpha - \beta }{ 2}) \\ \\
sin \alpha - sin \beta = sin(x+y) - sin(x-y) =sinx \ \ cos y + sin y \ cos x \\ - sinx \ \ cos y + sinycosx = 2sinycosx = 2sin( \frac { \alpha - \beta }{ 2})cos(\ \frac { \alpha + \beta }{2 }) \\ \\

\\ cos \alpha + cos\beta = cos(x+y)+cos(x-y) = cosx \ \ cosy - sinx \ \ siny
\ + cosx cosy + sinx \ siny =\\ 2cosxcosy = 2cos( \frac { \alpha + \beta }{2 })cos( \frac { \alpha - \beta }{ 2}) \\ \\


cos \alpha - cos\beta = cos(x+y)-cos(x-y) = cosx \ \ cosy - sinx \ siny
\ - cosx \ \ cosy - sinx \ \ siny =\\ -2sinxsiny=-2sin( \frac { \alpha + \beta }{2 })sin( \frac { \alpha - \beta }{ 2})\)
Awatar użytkownika
KamilWit
Moderator
Moderator
Posty: 1484
Rejestracja: 07 lip 2011, 18:12
Podziękowania: 370 razy
Otrzymane podziękowania: 266 razy
Płeć:

Re: trygonometria wzór dla sin (n alpha )

Post autor: KamilWit »

update tożsamości trygonometryczne, niezbedne do liczenia pochodnych z definicji :)
ODPOWIEDZ