Macierz 2x2 ^n (indukcja)
Regulamin forum
Proszę zapoznać się z zasadami dodawania postów w tym dziale!
Proszę zapoznać się z zasadami dodawania postów w tym dziale!
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
- supergolonka
- Moderator
- Posty: 1859
- Rejestracja: 06 mar 2008, 10:53
- Otrzymane podziękowania: 29 razy
- Płeć:
- Kontakt:
- supergolonka
- Moderator
- Posty: 1859
- Rejestracja: 06 mar 2008, 10:53
- Otrzymane podziękowania: 29 razy
- Płeć:
- Kontakt:
Rozwiązanie
Niech \(A=\begin{bmatrix}1&\lambda\\0&1\end{bmatrix}\). Sprawdzamy, że \[A^2=\begin{bmatrix}1&2\lambda\\0&1\end{bmatrix},\\ A^3=a\cdot A^2=\begin{bmatrix}1&3\lambda\\0&1\end{bmatrix}\]
Zatem dowodzimy indukcyjnie, że \(A^n=\begin{bmatrix}1&n\lambda\\0&1\end{bmatrix}\). Dla \(n=1,2,3\) już sprawdziliśmy, więc wykonujemy krok indukcyjny \(n\mapsto n+1\). Liczymy
\[A^{n+1}=A\cdot A^n=\begin{bmatrix}1&\lambda\\0&1\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}1&n\lambda\\0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&(n+1)\lambda\\0&1\end{bmatrix}\]
Odpowiedź: \(\begin{bmatrix}1&n\lambda\\0&1\end{bmatrix}\)