Wyznaczyć rozwiązanie ogólne i układ podstawowy rozwiązań dla podanego układu
równań liniowych:
\[\begin{alignedat}{5} &&x_1+&&x_2-&&2x_3+&&2x_4=&0\\
3&&x_1+&&5x_2+&&6x_3-&&4x_4=&0\\
4&&x_1+&&5x_2-&&2x_3+&&3x_4=&0\\
3&&x_1+&&8x_2+&&24x_3-&&19x_4=&0
\end{alignedat}\]
Liniowy układ równań 4x4
Regulamin forum
Proszę zapoznać się z zasadami dodawania postów w tym dziale!
Proszę zapoznać się z zasadami dodawania postów w tym dziale!
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
supergolonka
- Moderator
- Posty: 1863
- Rejestracja: 06 mar 2008, 10:53
- Otrzymane podziękowania: 29 razy
- Płeć:
- Kontakt:
-
supergolonka
- Moderator
- Posty: 1863
- Rejestracja: 06 mar 2008, 10:53
- Otrzymane podziękowania: 29 razy
- Płeć:
- Kontakt:
Rozwiązanie
Rozwiązujemy układ w postaci macierzowej.
\[\begin{bmatrix}1&1&-2&2\\3&5&6&-4\\4&5&-2&3\\3&8&24&-19\end{bmatrix}_{\substack{w_4-w_2\\w_2-3w_1\\w_3-4w_1}}=\begin{bmatrix}1&1&-2&2\\0&2&12&-10\\0&1&6&-5\\0&3&18&-15\end{bmatrix}_{w_1-w_3}=\\
\begin{bmatrix}1&1&-2&2\\0&1&6&-5\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0&-8&7\\0&1&6&-5\end{bmatrix}.\] Zatem rozwiązanie ogólne jest postaci:
\((x_1,x_2,x_3,x_4)=(8x_3-7x_4,-6x_3+5x_4,x_3,x_4),\quad x_3,x_4\in\rr\), a za układ podstawowy rozwiązań możemy wziąć \((8,-6,1,0),(-7,5,0,1)\).
\begin{bmatrix}1&1&-2&2\\0&1&6&-5\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0&-8&7\\0&1&6&-5\end{bmatrix}.\] Zatem rozwiązanie ogólne jest postaci:
\((x_1,x_2,x_3,x_4)=(8x_3-7x_4,-6x_3+5x_4,x_3,x_4),\quad x_3,x_4\in\rr\), a za układ podstawowy rozwiązań możemy wziąć \((8,-6,1,0),(-7,5,0,1)\).
Odpowiedź: \((x_1,x_2,x_3,x_4)=(8x_3-7x_4,-6x_3+5x_4,x_3,x_4),\quad x_3,x_4\in\rr\), Układ podstawowy: \((8,-6,1,0),(-7,5,0,1)\)