Rozwiąż równanie z^2-2z+(1-i)=0

[supergolonka]

Rozwiąż w \(\ccc\) równanie \(z^2-2z+(1-i)=0\).

[supergolonka]

Liczymy \(\Delta\)-ę. \[\Delta=4-4(1-i)=4i.\] Do pierwiastka z \(\Delta\)-y potrzebujemy obliczyć pierwiastek z \[i=\cos \frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}.\] Jeden z tych pierwiastków jest równy \[\cos \frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}.\] Zatem \[z=\frac{2-2(\sqrt{2}+i\sqrt{2})}{2}=1-\sqrt{2}-i\sqrt{2}\quad\vee\quad z=\frac{2+2(\sqrt{2}+i\sqrt{2})}{2}=1+\sqrt{2}+i\sqrt{2}.\]

Odpowiedź: \(z\in\left\{1-\sqrt{2}-i\sqrt{2},1+\sqrt{2}+i\sqrt{2}\right\}\)