Rozwiąż równanie z^3-z^2+2=0
Regulamin forum
Proszę zapoznać się z zasadami dodawania postów w tym dziale!
Proszę zapoznać się z zasadami dodawania postów w tym dziale!
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
- supergolonka
- Moderator
- Posty: 1863
- Rejestracja: 06 mar 2008, 10:53
- Otrzymane podziękowania: 29 razy
- Płeć:
- Kontakt:
- supergolonka
- Moderator
- Posty: 1863
- Rejestracja: 06 mar 2008, 10:53
- Otrzymane podziękowania: 29 razy
- Płeć:
- Kontakt:
Rozwiązanie
Widać, że jedynym z pierwiastków jest \(z=-1\). Dzielimy więc lewą stronę przez \((z+1)\).
\[z^3-z^2+2=(z^3+z^2)-(2z^2+2z)+(2z+2)=(z+1)(z^2-2z+2).\]
Pozostało rozwiązać równanie kwadratowe
\[z^2-2z+2=0\\
\Delta=4-8=-4=(2i)^2\\
z=\frac{2-2i}{2}=1-i\quad\vee\quad z=\frac{2+2i}{2}=1+i.\]
\Delta=4-8=-4=(2i)^2\\
z=\frac{2-2i}{2}=1-i\quad\vee\quad z=\frac{2+2i}{2}=1+i.\]
Odpowiedź: \(z\in\{-1,1-i,1+i\}\)
- supergolonka
- Moderator
- Posty: 1863
- Rejestracja: 06 mar 2008, 10:53
- Otrzymane podziękowania: 29 razy
- Płeć:
- Kontakt:
- supergolonka
- Moderator
- Posty: 1863
- Rejestracja: 06 mar 2008, 10:53
- Otrzymane podziękowania: 29 razy
- Płeć:
- Kontakt:
Rozwiązanie - klon 1
Widać, że jedynym z pierwiastków jest \(z=1\). Dzielimy więc lewą stronę przez \((z-1)\).
\[z^3+z^2-2=(z^3-z^2)+(2z^2-2z)+(2z-2)=(z-1)(z^2+2z+2).\]
Pozostało rozwiązać równanie kwadratowe
\[z^2+2z+2=0\\
\Delta=4-8=-4=(2i)^2\\
z=\frac{-2-2i}{2}=-1-i\quad\vee\quad z=\frac{-2+2i}{2}=-1+i.\]
\Delta=4-8=-4=(2i)^2\\
z=\frac{-2-2i}{2}=-1-i\quad\vee\quad z=\frac{-2+2i}{2}=-1+i.\]
Odpowiedź: \(z\in\{1,-1-i,-1+i\}\)