Zbieżność szeregu 1/nlnn

Granice, pochodne, całki, szeregi
Regulamin forum
Proszę zapoznać się z zasadami dodawania postów w tym dziale!
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Przemo10
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 631
Rejestracja: 12 wrz 2011, 17:15
Podziękowania: 2 razy
Otrzymane podziękowania: 218 razy
Płeć:

Zbieżność szeregu 1/nlnn

Post autor: Przemo10 » 21 gru 2013, 17:40

Zbadaj zbieżność szeregu : \(\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n \ln n}\)

Przemo10
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 631
Rejestracja: 12 wrz 2011, 17:15
Podziękowania: 2 razy
Otrzymane podziękowania: 218 razy
Płeć:

Rozwiązanie

Post autor: Przemo10 » 21 gru 2013, 17:41

Korzystamy z kryterium zagęszczania:

Jeśli \(\left( a_n\right)\) jest malejącym ciągiem liczb dodatnich, to szeregi \(\sum_{n=1}^{ \infty } a_n\) oraz \(\sum_{n=1}^{ \infty } b_n\) ,gdzie \(b_n=2^n a_{2^n}\) są albo jednocześnie zbieżne , albo jednocześnie rozbieżne.

Niech \(a_n= \frac{1}{n \ln n}\)

Sprawdzamy monotoniczność ciągu \(a_n\)
\(\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{n \ln n} {\left (n+1 \right) \ln { \left(n+1 \right) }} < 1\).
Zatem \(a_n\)malejący.

Wyznaczamy ciąg \(b_n=2^n a_{2^n}= 2^n \frac{1}{ n \ln 2^n}=2^n \frac{1}{ n 2^n \ln 2}= \frac{1}{ n \ln 2}\)
Oczywiście szrereg \(b_n= \frac{1}{n \ln 2}\) jest rozbieżny , zatem na mocy powyższego kryterium dostajemy rozbieżność szeregu \(a_n\)

Odpowiedź: Rozbieżny


Przemo10
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 631
Rejestracja: 12 wrz 2011, 17:15
Podziękowania: 2 razy
Otrzymane podziękowania: 218 razy
Płeć:

Klon 1

Post autor: Przemo10 » 21 gru 2013, 17:46

Zbadaj zbieżność szeregu : \(\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n \ln n^{8}}\)

Przemo10
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 631
Rejestracja: 12 wrz 2011, 17:15
Podziękowania: 2 razy
Otrzymane podziękowania: 218 razy
Płeć:

Klon 1 rozwiązanie

Post autor: Przemo10 » 21 gru 2013, 17:51

Korzystamy z kryterium zagęszczania:

Jeśli \(\left( a_n\right)\) jest malejącym ciągiem liczb dodatnich, to szeregi \(\sum_{n=1}^{ \infty } a_n\) oraz \(\sum_{n=1}^{ \infty } b_n\) ,gdzie \(b_n=2^n a_{2^n}\) są albo jednocześnie zbieżne , albo jednocześnie rozbieżne.

Niech \(a_n= \frac{1}{n \ln n^8}=\frac{1}{8n \ln n}\)

Sprawdzamy monotoniczność ciągu \(a_n\)
\(\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{8n \ln n} {8\left (n+1 \right) \ln { \left(n+1 \right) }} < 1\).
Zatem \(a_n\)malejący.

Wyznaczamy ciąg \(b_n=2^n a_{2^n}= 2^n \frac{1}{8 n \ln 2^n}=2^n \frac{1}{ 8n 2^n \ln 2}= \frac{1}{8 n \ln 2}\)
Oczywiście szrereg \(b_n= \frac{1}{8n \ln 2}\) jest rozbieżny , zatem na mocy powyższego kryterium dostajemy rozbieżność szeregu \(a_n\)

Odpowiedź: Rozbieżny