Nierówność z arctg

Granice, pochodne, całki, szeregi
Regulamin forum
Proszę zapoznać się z zasadami dodawania postów w tym dziale!
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Kangurur
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 1
Rejestracja: 18 lis 2020, 21:06
Płeć:

Nierówność z arctg

Post autor: Kangurur » 18 lis 2020, 21:15

Witam, mam do zrobienia takie oto zadanko:
\( xarctgx> \frac{ \pi }{2}-1 \) dla \(x \ge 0\)
Nie wiem jak się za nie zabrać. Proszę o pomoc.

Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 3969
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 10 razy
Otrzymane podziękowania: 1455 razy
Płeć:

Re: Nierówność z arctg

Post autor: panb » 19 lis 2020, 17:18

Nie wiem jakimi metodami dysponujesz. Można:
zauważyć, że funkcja \(h(x)=x\arctg x \text{ dla } x\ge 0\) jest rosnąca, rozwiązać równanie \(x\arctg x= \frac{\pi}{2}-1 \) i jako zbiór rozwiązań podać zbiór x większych od tego iksa.

Równanie można próbować rozwiązać rozwijając w szereg funkcję \( \arctg x\)
\[\arctg x\approx x- \frac{x^3}{3} \text{ dla } x\in (-1,1)\\ x\arctg x= \frac{\pi}{2}-1 \So - \frac{1}{3}x^4+x^2= \frac{\pi}{2}-1\]Uwaga: wybieramy tylko jedno rozwiązanie to, które jest w przedziale (0,1). Nie można brać (poważnie) więcej niż jednego miejsca po przecinku. Rozwiązanie będzie przybliżone.

Mi wyszło \( x\arctg x> \frac{\pi}{2}-1 \text{ dla } x>0,8 \)
Sprawdzałem Wolframem i 0,82 należy do zbioru rozwiązań (na drugim miejscu po przecinku będzie 2).

Można też rozpatrywać funkcję \(d(x)=x\arctg x - \frac{\pi}{2}+1\) i szukać przybliżonymi metodami od jakiej wartości x przyjmuje ona wartości dodatnie (też jest rosnąca, więc ...)