Całki pochodna funkcji przez tą funkcję

Granice, pochodne, całki, szeregi
Regulamin forum
Proszę zapoznać się z zasadami dodawania postów w tym dziale!
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Male_Zlo
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 3
Rejestracja: 08 wrz 2020, 19:58
Podziękowania: 1 raz

Całki pochodna funkcji przez tą funkcję

Post autor: Male_Zlo » 08 wrz 2020, 20:29

Cześć.
Mam problem z tego typu zadaniami, gdzie stosuję wzór \int_{}^{} \frac{f'(x)}{f(x)}=log(|f(x)|)

https://zapodaj.net/3bd3c10154a97.jpg.html
Obrazek

Edit: wygląda na to że jeszcze nie opanowałam wstawiania obrazków.
W takim razie: np. Mam \int_{}^{} \frac{7x^2+1}{x^3-x} i po przejściu przez rozkład na ułamki proste wychodzi mi 4ln|x^2-1|-ln|x|, podczas gdy internetowym kalkulatorom całek wychodzi 4log(1-x^2)-log(x).
Nie wiem z czego wynika to pozbycie się wartości bezwzględnej.

Serdecznie proszę o wyjaśnienie mi czego nie uwzględniam.
Ostatnio zmieniony 08 wrz 2020, 21:50 przez Male_Zlo, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 3747
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 8 razy
Otrzymane podziękowania: 1337 razy
Płeć:

Re: Całki pochodna funkcji przez tą funkcję

Post autor: panb » 08 wrz 2020, 21:28

Male_Zlo pisze:
08 wrz 2020, 20:29
Cześć.
Mam problem z tego typu zadaniami, gdzie stosuję wzór \int_{}^{} \frac{f'(x)}{f(x)}=log(|f(x)|)

https://zapodaj.net/3bd3c10154a97.jpg.html
Obrazek

Edit: wygląda na to że jeszcze nie opanowałam wstawiania obrazków.
W takim razie: np. Mam \int_{}^{} \frac{7x^2+1}{x^3-x} i po przejściu przez rozkład na ułamki proste wychodzi mi 4ln|x^2-1|-ln|x|, podczas gdy internetowym kalkulatorom całek wychodzi 4log(1-x^2)-log(x).
Nie wiem z czego wynika to pozbycie się wartości bezwzględnej.

Serdecznie proszę o wyjaśnienie mi czego nie uwzględniam.
To wynika z faktu, że
\( \left[\ln(x) \right]'= \frac{1}{x}= \left[\ln(-x) \right]' \\
\text{oraz } \left[\ln(x^2-1) \right]' = \frac{2x}{x^2-1} = \left[\ln(1-x^2) \right]' \)


Czyli, czy jest wartość bezwzględna, czy jej nie ma pochodna wyniku jest równa funkcji podcałkowej. Oczywiście nie będzie się liczyć logarytmu z liczby ujemnej, ale tutaj nie liczymy wartości, tylko całkujemy (szukamy funkcji, której pochodna jest równa funkcji podcałkowej).
Reasumując: wpisuj wartość bezwzględną, a jeśli w internetowej odpowiedzi jej nie ma, to się nie bulwersuj.
Uwaga: \(|x^2-1|=|1-x^2|\), więc to też taki "skrót myślowy" raczej.

Male_Zlo
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 3
Rejestracja: 08 wrz 2020, 19:58
Podziękowania: 1 raz

Re: Całki pochodna funkcji przez tą funkcję

Post autor: Male_Zlo » 08 wrz 2020, 21:57

Daleko mi od bulwersowania się. Raczej frustracja mnie ogarniała, bo wierzyłam, że czegoś mocno nie rozumiem. Ale chyba wygląda na to, że robię dobrze, a ta internetowa odpowiedź jest taka jakby niepełna? Jeśli tak, to wspaniale! :)