Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej \(n\) prawdziwa jest równość
\(\sin \alpha + sin 2 \alpha + .. \sin \left(n \alpha \right) =\frac{ cos \ \frac { 1}{2}\alpha - \cos \left(n + \frac{1}{2} \right) \alpha }{2 sin \ \frac { 1} { 2 } \ \alpha}\)
Indukcja - wzór na sumę sinusów
Regulamin forum
Proszę zapoznać się z zasadami dodawania postów w tym dziale!
Proszę zapoznać się z zasadami dodawania postów w tym dziale!
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
Przemo10
- Stały bywalec
- Posty: 631
- Rejestracja: 12 wrz 2011, 17:15
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 218 razy
- Płeć:
Rozwiązanie
Korzystamy ze wzoru:
\(\\\large \cos{\alpha}-\cos{\beta}=-2\sin{(\frac{\alpha-\beta}{2})}\cdot\sin{(\frac{\alpha+\beta}{2})}\)
Dla \(n = 1\) teza jest prawdziwa:
\(2\sin \alpha= \frac{\cos \frac{1}{2} \alpha -\cos \frac{3}{2} \alpha }{\sin \frac{1}{2} \alpha } = -2\frac{\sin \frac{ -\alpha }{2} \cdot \sin \alpha }{\sin \frac{ \alpha }{2} }= 2\sin \alpha\)
Założenie:
\(\sin \alpha + \sin 2 \alpha + ..\sin (n \alpha)=\frac{ cos \ \frac { 1 } { 2 }\alpha - cos ( n + \frac{1}{2}) \alpha } {2 sin \ \frac { 1} { 2 } \ \alpha}\)
Teza:
\(\sin \alpha + \sin 2 \alpha + .. \sin (n \alpha)+\sin(n+1) \alpha=\frac{ cos \ \frac { 1 } { 2 }\alpha - cos ( n + \frac{3}{2}) \alpha } {2 sin \ \frac { 1 } { 2 } \ \alpha}\)
Korzystając z założenia indukcyjnego otrzymujemy:
\(\frac{ cos \ \frac { 1 } { 2 }\alpha - cos ( n + \frac{1}{2}) \alpha } {2 sin \ \frac { 1 } { 2 } \ \alpha}+\sin(n+1) \alpha=\frac{ cos \ \frac { 1 } { 2 }\alpha - cos ( n + \frac{3}{2}) \alpha } {2 sin \ \frac { 1 } { 2 } \ \alpha}\)
Stąd po wyznaczeniu z powyższego wyrażenia \(\sin \left(n+1 \right) \alpha\) i dokonując przekształceń równoważnych dostajemy:
\(\sin \left(n+1 \right) \alpha =\frac{ \ cos (n+ \frac{1}{2}) \alpha - cos ( n + \frac{3}{2}) \alpha } {2 sin \ \frac { 1 } { 2 } \ \alpha}=\frac{-2sin(n+1) \alpha \cdot \sin \left( - \frac{1}{2} \alpha\right) }{2\sin \frac{1}{2} \alpha }=\sin(n+1) \alpha\)
co dowodzi tezy.
\(\\\large \cos{\alpha}-\cos{\beta}=-2\sin{(\frac{\alpha-\beta}{2})}\cdot\sin{(\frac{\alpha+\beta}{2})}\)
Dla \(n = 1\) teza jest prawdziwa:
\(2\sin \alpha= \frac{\cos \frac{1}{2} \alpha -\cos \frac{3}{2} \alpha }{\sin \frac{1}{2} \alpha } = -2\frac{\sin \frac{ -\alpha }{2} \cdot \sin \alpha }{\sin \frac{ \alpha }{2} }= 2\sin \alpha\)
Założenie:
\(\sin \alpha + \sin 2 \alpha + ..\sin (n \alpha)=\frac{ cos \ \frac { 1 } { 2 }\alpha - cos ( n + \frac{1}{2}) \alpha } {2 sin \ \frac { 1} { 2 } \ \alpha}\)
Teza:
\(\sin \alpha + \sin 2 \alpha + .. \sin (n \alpha)+\sin(n+1) \alpha=\frac{ cos \ \frac { 1 } { 2 }\alpha - cos ( n + \frac{3}{2}) \alpha } {2 sin \ \frac { 1 } { 2 } \ \alpha}\)
Korzystając z założenia indukcyjnego otrzymujemy:
\(\frac{ cos \ \frac { 1 } { 2 }\alpha - cos ( n + \frac{1}{2}) \alpha } {2 sin \ \frac { 1 } { 2 } \ \alpha}+\sin(n+1) \alpha=\frac{ cos \ \frac { 1 } { 2 }\alpha - cos ( n + \frac{3}{2}) \alpha } {2 sin \ \frac { 1 } { 2 } \ \alpha}\)
Stąd po wyznaczeniu z powyższego wyrażenia \(\sin \left(n+1 \right) \alpha\) i dokonując przekształceń równoważnych dostajemy:
\(\sin \left(n+1 \right) \alpha =\frac{ \ cos (n+ \frac{1}{2}) \alpha - cos ( n + \frac{3}{2}) \alpha } {2 sin \ \frac { 1 } { 2 } \ \alpha}=\frac{-2sin(n+1) \alpha \cdot \sin \left( - \frac{1}{2} \alpha\right) }{2\sin \frac{1}{2} \alpha }=\sin(n+1) \alpha\)
co dowodzi tezy.