forum.zadania.info

Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwa jest nierówność

\(a^{4}-3a^{3}b+4a^{2}b^{2}-3ab^{3}+b^{4}\).

Zał: a,b \(\in \rr\)
Teza:\(a^{4}-3a^{3}b+4a^{2}b^{2}-3ab^{3}+b^{4} \ge 0\)
dowód:

\(\forall_{a,b\in\rr}\) [\((a-b)^{2} \ge 0\) \(\wedge\) \(\forall_{a,b\in\rr}\) \(a^{2}+b^{2}-ab>0\) ( bo wykres funkcji \(f(a)=a^{2}+b^{2}-ab\) leży w całości nad osią OX) , zatem

\((a-b)^{2} \cdot (a^{2}+b^{2}-ab) \ge 0\)

\((a^2+b^2-2ab)(a^2+b^2-ab) \ge 0\)
\(a^{4}+a^{2}b^{2}-a^{3}b+b^{2}a^{2}+b^4-ab^{3}-2a^{3}b-2ab^{3}+2a^{2}b^{2} \ge 0\)

\(a^{4}-3a^{3}b+4a^{2}b^{2}-3ab^{3}+b^{4} \ge 0\)
c.n.d