Wykaż, że równanie jest spełnione, gdy \(x,y > 0\)
\(\Lim_{n\to \infty } (\frac{5x^2n + 3}{5+n}+\frac{4n + 10y^2n^2 + 5}{1+2n+n^2} + \frac{9n^2 - 3n + 5 + 14xyn^3}{(n + 2)^3}) > 0\)
Dowód z granicą ciągu
Regulamin forum
Proszę zapoznać się z zasadami dodawania postów w tym dziale!
Proszę zapoznać się z zasadami dodawania postów w tym dziale!
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Rozwiązanie
Obliczymy granice każdego ze składników sumy tego ciągu:
\(\Lim_{n\to \infty } (\frac{5x^2n + 3}{5+n}+\frac{4n + 10y^2n^2 + 5}{1+2n+n^2} + \frac{9n^2 - 3n + 5 + 14xyn^3}{(n + 2)^3}) = \Lim_{n\to \infty } \frac{5x^2n + 3}{5+n} + \Lim_{n\to \infty }\frac{4n + 10y^2n^2 + 5}{1+2n+n^2} + \Lim_{n\to \infty }\frac{9n^2 - 3n + 5 + 14xyn^3}{(n + 2)^3}\)
\(\Lim_{n\to \infty } \frac{5x^2n + 3}{5+n} = \Lim_{n\to \infty } \frac{5x^2 + \frac{3}{n}}{\frac{5}{n}+1} = 5x^2\)
\(\Lim_{n\to \infty }\frac{4n + 10y^2n^2 + 5}{1+2n+n^2} = \Lim_{n\to \infty }\frac{\frac{4}{n} + 10y^2 + \frac{5}{n^2}}{\frac{1}{n^2}+\frac{2}{n}+1} = 10y^2\)
\(\Lim_{n\to \infty }\frac{9n^2 - 3n + 5 + 14xyn^3}{(n + 2)^3} = \Lim_{n\to \infty }\frac{9n^2 - 3n + 5 + 14xyn^3}{n^3 + 6n^2 + 12n + 8} = \Lim_{n\to \infty }\frac{\frac{9}{n} - \frac{3}{n^2} + \frac{5}{n^3} + 14xy}{1 + \frac{6}{n} + \frac{12}{n^2} + \frac{8}{n^3}} = 14xy\)
Otrzymujemy zatem:
\(\Lim_{n\to \infty } \frac{5x^2n + 3}{5+n} + \Lim_{n\to \infty }\frac{4n + 10y^2n^2 + 5}{1+2n+n^2} + \Lim_{n\to \infty }\frac{9n^2 - 3n + 5 + 14xyn^3}{(n + 2)^3} = 5x^2 + 10y^2 + 14xy\)
Rozbijamy to co otrzymaliśmy na wzory skróconego mnożenia:
\(5x^2 + 10y^2 + 14xy = (4x^2 + 12xy + 9y^2)+(x^2 + 2xy + y^2) = (2x + 3y)^2 + (x+y)^2\)
\(I\) Suma liczb rzeczywistych podniesiona do kwadratu jest nieujemna.
\((2x + 3y)^2 + (x+y)^2 = 0 \iff (2x+3y=0) \wedge(x+y=0) \So 2x+3y = x+y \So x = -2y\)
\(II\) Nie mogą to być liczby przeciwne, ponieważ obie są dodatnie \(\So \Lim_{n\to \infty } (\frac{5x^2n + 3}{5+n}+\frac{4n + 10y^2n^2 + 5}{1+2n+n^2} + \frac{9n^2 - 3n + 5 + 14xyn^3}{(n + 2)^3}) > 0\)
C.N.D.
\(\Lim_{n\to \infty } (\frac{5x^2n + 3}{5+n}+\frac{4n + 10y^2n^2 + 5}{1+2n+n^2} + \frac{9n^2 - 3n + 5 + 14xyn^3}{(n + 2)^3}) = \Lim_{n\to \infty } \frac{5x^2n + 3}{5+n} + \Lim_{n\to \infty }\frac{4n + 10y^2n^2 + 5}{1+2n+n^2} + \Lim_{n\to \infty }\frac{9n^2 - 3n + 5 + 14xyn^3}{(n + 2)^3}\)
\(\Lim_{n\to \infty } \frac{5x^2n + 3}{5+n} = \Lim_{n\to \infty } \frac{5x^2 + \frac{3}{n}}{\frac{5}{n}+1} = 5x^2\)
\(\Lim_{n\to \infty }\frac{4n + 10y^2n^2 + 5}{1+2n+n^2} = \Lim_{n\to \infty }\frac{\frac{4}{n} + 10y^2 + \frac{5}{n^2}}{\frac{1}{n^2}+\frac{2}{n}+1} = 10y^2\)
\(\Lim_{n\to \infty }\frac{9n^2 - 3n + 5 + 14xyn^3}{(n + 2)^3} = \Lim_{n\to \infty }\frac{9n^2 - 3n + 5 + 14xyn^3}{n^3 + 6n^2 + 12n + 8} = \Lim_{n\to \infty }\frac{\frac{9}{n} - \frac{3}{n^2} + \frac{5}{n^3} + 14xy}{1 + \frac{6}{n} + \frac{12}{n^2} + \frac{8}{n^3}} = 14xy\)
Otrzymujemy zatem:
\(\Lim_{n\to \infty } \frac{5x^2n + 3}{5+n} + \Lim_{n\to \infty }\frac{4n + 10y^2n^2 + 5}{1+2n+n^2} + \Lim_{n\to \infty }\frac{9n^2 - 3n + 5 + 14xyn^3}{(n + 2)^3} = 5x^2 + 10y^2 + 14xy\)
Rozbijamy to co otrzymaliśmy na wzory skróconego mnożenia:
\(5x^2 + 10y^2 + 14xy = (4x^2 + 12xy + 9y^2)+(x^2 + 2xy + y^2) = (2x + 3y)^2 + (x+y)^2\)
\(I\) Suma liczb rzeczywistych podniesiona do kwadratu jest nieujemna.
\((2x + 3y)^2 + (x+y)^2 = 0 \iff (2x+3y=0) \wedge(x+y=0) \So 2x+3y = x+y \So x = -2y\)
\(II\) Nie mogą to być liczby przeciwne, ponieważ obie są dodatnie \(\So \Lim_{n\to \infty } (\frac{5x^2n + 3}{5+n}+\frac{4n + 10y^2n^2 + 5}{1+2n+n^2} + \frac{9n^2 - 3n + 5 + 14xyn^3}{(n + 2)^3}) > 0\)
C.N.D.