Ekstrema wielomianu: 3x^4-4x^3-6x^2+12x-7
Regulamin forum
Proszę zapoznać się z zasadami dodawania postów w tym dziale!
Proszę zapoznać się z zasadami dodawania postów w tym dziale!
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
supergolonka
- Moderator
- Posty: 1859
- Rejestracja: 06 mar 2008, 10:53
- Otrzymane podziękowania: 29 razy
- Płeć:
- Kontakt:
-
supergolonka
- Moderator
- Posty: 1859
- Rejestracja: 06 mar 2008, 10:53
- Otrzymane podziękowania: 29 razy
- Płeć:
- Kontakt:
Rozwiązanie
Obliczamy pochodną funkcji \(f\).
\[f'(x)=12x^3-12x^2-12x+12=12(x^3-x^2-x+1)=12(x^2(x-1)-(x-1))=\\
=12(x^2-1)(x-1)=12(x+1)(x-1)^2.\] W punkcie \(x=-1\) pochodna zmienia znak z ujemnego na dodatni, więc jest minimum lokalne w tym punkcie. W punkcie \(x=1\) pochodna nie zmienia znaku, więc nie ma w tym punkcie ekstremum. Mamy ponadto \[f(-1)=3+4-6-12-7=-18.\]
=12(x^2-1)(x-1)=12(x+1)(x-1)^2.\] W punkcie \(x=-1\) pochodna zmienia znak z ujemnego na dodatni, więc jest minimum lokalne w tym punkcie. W punkcie \(x=1\) pochodna nie zmienia znaku, więc nie ma w tym punkcie ekstremum. Mamy ponadto \[f(-1)=3+4-6-12-7=-18.\]
Odpowiedź: Minimum lokalne: \(f(-1)=-18\).
-
supergolonka
- Moderator
- Posty: 1859
- Rejestracja: 06 mar 2008, 10:53
- Otrzymane podziękowania: 29 razy
- Płeć:
- Kontakt:
-
supergolonka
- Moderator
- Posty: 1859
- Rejestracja: 06 mar 2008, 10:53
- Otrzymane podziękowania: 29 razy
- Płeć:
- Kontakt:
Rozwiązanie - klon 1
Obliczamy pochodną funkcji \(f\).
\[f'(x)=12x^3+12x^2-12x-12=12(x^3+x^2-x-1)=12(x^2(x+1)-(x+1))=\\
=12(x^2-1)(x+1)=12(x-1)(x+1)^2.\] W punkcie \(x=1\) pochodna zmienia znak z ujemnego na dodatni, więc jest minimum lokalne w tym punkcie. W punkcie \(x=-1\) pochodna nie zmienia znaku, więc nie ma w tym punkcie ekstremum. Mamy ponadto \[f(1)=3+4-6-12+5=-6.\]
=12(x^2-1)(x+1)=12(x-1)(x+1)^2.\] W punkcie \(x=1\) pochodna zmienia znak z ujemnego na dodatni, więc jest minimum lokalne w tym punkcie. W punkcie \(x=-1\) pochodna nie zmienia znaku, więc nie ma w tym punkcie ekstremum. Mamy ponadto \[f(1)=3+4-6-12+5=-6.\]
Odpowiedź: Minimum lokalne: \(f(1)=-6\).