Trygonometria! Zadanie z gwiazdką.

Regulamin forum
Proszę zapoznać się z zasadami dodawania postów w tym dziale!
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
PATRO02
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 47
Rejestracja: 16 sty 2022, 23:39
Podziękowania: 25 razy

Trygonometria! Zadanie z gwiazdką.

Post autor: PATRO02 » 30 sty 2022, 00:52

Domyślam się, że takich zadań na maturze nie będzie, ale chciałbym wiedzieć jak to rozwiązać.
Rozwiązać równanie sin^2 x+sin^2 2x=sin^2 3x
Zadanie to pochodzi ze zbioru A.Kiełbasa (Egzamin wstępny na politechniki (wydziały mechaniczne i elektryczne) w roku 1952
Starałem się to rozwiązać, ale czacha dymi :lol:
Zapisałem to tak:
sin^2 x+4(sin^2 x)(cos^2 x)=sin^2 3x
sin^2 x+4(sin^2 x)(1-sin^2 x)=sin^2 3x
sin^2 x+4sin^2 x-4sin^4 x=sin^2 3x
5sin^2 x-4sin^4 x=sin^2 3x
Nie wiem czy do tego momentu zrobiłem poprawnie, ale dalej wygląda to następująco:
5sin^2 x-sin^2 3x=4sin^4 x
Wyłączam sin^2x przed nawias:
sin^2 x(5-3x)=4sin^4 x
Czy tutaj wystarczy obliczyć lewą stronę równania z funkcji różnicy kątów i podnieść do kwadratu czy już popełniłem jakiś błąd?
Nie gra mi ten wyłączony sin^2x przed nawias i myślę że tu już jest błąd na 100%.

kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2653
Rejestracja: 14 lis 2016, 15:38
Podziękowania: 26 razy
Otrzymane podziękowania: 1162 razy
Płeć:

Re: Trygonometria! Zadanie z gwiazdką.

Post autor: kerajs » 30 sty 2022, 08:27

Poprawnie jest do równania:
\(5\sin^2 x-\sin^2 3x=4\sin^4 x\)

Robiłbym tak:
\( \sin^2 x+\sin^2 2x=\sin^2 3x \\
\sin^2 2x=(\sin 3x-\sin x)(\sin 3x-\sin x)\\
\sin^2 2x=(2\sin x\cos 2x)(2 \sin 2x\cos x)\\
\sin^2 2x=2\sin^2 2x\cos 2x \\
\sin 2x=0 \ \ \vee \ \ 1=2\cos 2x\)