Wyznacz prawdziwość relacji

[pawe1lpawel2pawel3]

Cześć, jestem studentem informatyki I roku i dostałem zadania z dyskretnej.

Ktoś pomoże? Dla Was to pewnie łatwizna!

Zadanie: 2. Niech A, B, C i D będą dowolnymi zbiorami. Która z poniżej podanych relacji nie jest prawdziwa?
1) (A \ B) ∩ (C \ D) = (A ∩ C) \ (B ∪ D)
2)(A ⊂ B) ∧ (C ⊂ D) =⇒ (A ∩ C) ⊂ (B ∩ D)
3)A \ (B ∪ C) = (A \ B) \ C
4)[(A ∩ B) ∪ C] \ A = (A ∩ B) \ C
5)A \ [B \ (C \ D)] = (A \ B) ∪ [(A ∩ C) \ D]

Zadanie: 3. Z urny zawierającej n = 15 ponumerowanych kul losujemy k = 4 kul. Ile jest możliwych wyników tego eksperymentu przyjmując dwa sposoby losowania: losowanie „garścią” i losowanie kolejne bez zwracania.
1) 1356 i 98280 2) 4095 i 32760 3) 4095 i 32769 4) 1365 i 32760 5) 1365 i 32769

Task: 4. Rozmieszczono r = 29 kul w n = 4 komórkach. Ile jest wszystkich rozmieszczeń i ile jest takich rozmieszczeń, że żadna komórka nie jest pusta?
1) 5456 i 3654 2) 4960 i 3276 3) 40920 i 3276 4) 201376 i 23751 5) 35960 i 20475

Zadanie: 5. Ile rozwiązań ma równanie \(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 24\) gdzie każde \(x_i\)
jest nieujemną liczbą całkowitą, a ile ma rozwiązań gdy każde \(x_i\) jest dodatnią liczbą całkowitą?
1) 80730 i 10626 2) 17550 i 8855 3) 20475 i 1771 4) 3276 i 2024 5) 2925 i 1771

Zadanie: 6. Niech |A| = 11, |B| = 10, |A∩B| = 4, |B ∩C| = 2, |A∩C| = 2 i |A∪B ∪C| = 19.
Która z własności nie może być spełniona.
1) |C| = 4 2) |A ∩ B ∩ C| = 1 3) |A ∩ B ∩ C| = 0 4) |A ∩ B ∩ C| = 4 5) |C| = 5

[Jerry]

Zadanie: 2. Niech A, B, C i D będą dowolnymi zbiorami. Która z poniżej podanych relacji
nie jest prawdziwa?
1)(A \ B) ∩ (C \ D) = (A ∩ C) \ (B ∪ D)
2)(A ⊂ B) ∧ (C ⊂ D) =⇒ (A ∩ C) ⊂ (B ∩ D)
3)A \ (B ∪ C) = (A \ B) \ C
4)[(A ∩ B) ∪ C] \ A = (A ∩ B) \ C
5)A \ [B \ (C \ D)] = (A \ B) ∪ [(A ∩ C) \ D]

Narysowałem schemat Venne'a i wg mnie 4), bo jeżeli \(x\in C\setminus(A\cup B)\), to \(\begin{cases}x\in L\\ x\notin P\end{cases}\)

Pozdrawiam
PS. Pisząc regulaminowe posty, zwłaszcza korzystając z kodu \(\LaTeX\), zachęcasz userów do pomocy i to bez (usuniętego) monitu!

[Jerry]

Zadanie: 3. Z urny zawierającej n = 15 ponumerowanych kul losujemy k = 4 kul. Ile jest
możliwych wyników tego eksperymentu przjmując dwa sposoby losowania: losowanie „garścią”
i losowanie kolejne bez zwracania.
1) 1356 i 98280 2) 4095 i 32760 3) 4095 i 32769 4) 1365 i 32760 5) 1365 i 32769

Garścią: \({15\choose4}=1365\)
Kolejno: \(15\cdot14\cdot13\cdot12=32760\)

Pozdrawiam

[Jerry]

Zadanie: 5. Ile rozwiązań ma równanie x1 + x2 + x3 + x4 = 24 gdzie każde xi
jest nieujemną liczbą całkowitą, a ile ma rozwiązań gdy każde xi
jest dodatnią liczbą całkowitą?
1) 80730 i 10626 2) 17550 i 8855 3) 20475 i 1771 4) 3276 i 2024 5) 2925 i 1771

W liczbach całkowitych nieujemnych: \({27\choose3}=2925\)
W liczbach całkowitych dodatnich: \({23\choose3}=1771\)

Pozdrawiam
PS. Przeczytaj, proszę, ze zrozumieniem moje posty w wątkach:
https://forum.zadania.info/viewtopic.ph ... ki#p342826
https://forum.zadania.info/viewtopic.ph ... ki#p339922

[Jerry]

Task: 4. Rozmieszczono r = 29 kul w n = 4 komórkach. Ile jest wszystkich rozmieszczeń i ile
jest takich rozmieszczeń, że żdana komórka nie jest pusta?
1) 5456 i 3654 2) 4960 i 3276 3) 40920 i 3276 4) 201376 i 23751 5) 35960 i 20475

Przyjmuję, że kule są nierozróżnialne a komórki są rozróżnialne!
Mnogości te wynikają z liczby rozwiązań w liczbach całkowitych równania analogicznego jak wyżej:
\(x_1+x_2+x_3+x_4=29\)
czyli
\({33\choose3}=5456\\
{29\choose3}=3654\)

Pozdrawiam

[Jerry]

Zadanie: 6. Niech |A| = 11, |B| = 10, |A∩B| = 4, |B ∩C| = 2, |A∩C| = 2 i |A∪B ∪C| = 19.
Która z własności nie może być spełniona.
1) |C| = 4 2) |A ∩ B ∩ C| = 1 3) |A ∩ B ∩ C| = 0 4) |A ∩ B ∩ C| = 4 5) |C| = 5

Narysowałem sobie schemat Venne'a, oznaczyłem
\(|A\cap B\cap C|=x\in\{0,1,2\},\ |C\setminus(A\cup B)|=y\in\zz_+\cup\{0\}\)
i rozwiązałem równanie:
\(|A\cup B\cup C|=19\iff y=2\)
Zatem
\(\begin{cases}|A\cap B\cap C|=0\\|C|=6\end{cases}\vee\begin{cases}|A\cap B\cap C|=1\\|C|=5\end{cases}\vee\begin{cases}|A\cap B\cap C|=2\\|C|=4\end{cases}\)

Pozdrawiam
PS. A wersja skrócona:
\(A\cap B\cap C\subset A\cap C\So|A\cap B\cap C|\le| A\cap C|=2\)
wyklucza 4)

[pawe1lpawel2pawel3]

Wielkie dzięki za wszystkie odpowiedzi, ja nigdy nie bylem orłem z matematyki. Przerabiam teraz zakres rozszerzony szkoły średniej i zajmuje mi to wiele godzin codziennie. Ratujesz mi skórę przed zaliczeniem wykładu z dyskretnej.

Pozdrawiam i dziękuję!