Znajdź ciąg (an) zadany (dla n ≥ 3) zależnością rekurencyjną

Teoria liczb, teoria grafów, indukcja
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
bolihombre
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 3
Rejestracja: 06 wrz 2022, 22:51
Płeć:

Znajdź ciąg (an) zadany (dla n ≥ 3) zależnością rekurencyjną

Post autor: bolihombre »

Znajdź ciąg \((an)\) zadany (dla \(n ≥ 3\)) zależnością rekurencyjną
\(a_n = 2a_{n−1} + 4a_{n−2} − 8a_{n−3} + 4 · 2^n\)

oraz warunkami początkowymi \(a_0 = 0,\ a_1 = a_2 = 8\). Zapisz jego wzór ogólny w najprostszej możliwej postaci.
Ostatnio zmieniony 07 wrz 2022, 09:54 przez Jerry, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości, cała "matematyka" w kodzie i [tex] [/tex]
kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2963
Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
Podziękowania: 33 razy
Otrzymane podziękowania: 1302 razy
Płeć:

Re: Znajdź ciąg (an) zadany (dla n ≥ 3) zależnością rekurencyjną

Post autor: kerajs »

\(r^3-2r^2-4r+8=0\\
(r-2)^2(r+2)=0\\
a(n)=a_j+a_{nj}\\
a_n=A2^n+Bn2^n+C(-2)^2+Dn^22^n\)

Wylicz z rekurencji \(a_3\), a następnie rozwiąż układ równań:
\( \begin{cases} a_3=A \cdot 2^3+3B \cdot 2^3+C \cdot (-2)^3+9D \cdot 2^3 \\ a_2=A \cdot 2^2+2B \cdot 2^2+C \cdot (-2)^2+4D \cdot 2^2 \\ a_1=A \cdot 2^1+B \cdot 2^1+C \cdot (-2)^1+D \cdot 2^1 \\ a_0=A \cdot 2^0+C \cdot (-2)^0 \end{cases} \)
aby wyznaczyć stałe A,B,C i D.
ODPOWIEDZ