nierówność z potęgami
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
Jerry
- Expert
- Posty: 3525
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 50 razy
- Otrzymane podziękowania: 1930 razy
Re: nierówność z potęgami
Dana nierówność jest równoważna
\(1^n+2^n+3^n+\ldots+(n-1)^n-n^n<0\)
i wg mnie dowód indukcyjny jest przyjazny... najistotniejszy moment:
\(L_T=1^{n+1}+2^{n+1}+3^{n+1}+\ldots+(n-1)^{n+1}+n^{n+1}-(n+1)^{n+1}=\\ \quad=
1^{n}+2\cdot 2^{n}+3\cdot3^{n}+\ldots+(n-1)\cdot(n-1)^{n}+n\cdot n^{n+1}-(n+1)^{n+1}<\\\quad <
[n\cdot1^{n}+n\cdot 2^{n}+n\cdot3^{n}+\ldots+n\cdot(n-1)^{n}]+n\cdot n^{n+1}-(n+1)^{n+1}\nad{z\, Z}{<}\\ \quad\nad{z\, Z}{<} n\cdot n^n +n^{n+1}-(n+1)^{n+1}=2n^{n+1}-(n+1)^{n+1}\nad{\color{red}{(*)}}{<}0=P_T\)
(*): Ze znanego faktu
\(\left(1+{1\over n}\right)^n\ge2\)
wynika
\(\left({n+1\over n}\right)^{n+1}\ge2(1+{1\over n})>2\\
(n+1)^{n+1}>2n^{n+1}\)
Pozdrawiam
\(1^n+2^n+3^n+\ldots+(n-1)^n-n^n<0\)
i wg mnie dowód indukcyjny jest przyjazny... najistotniejszy moment:
\(L_T=1^{n+1}+2^{n+1}+3^{n+1}+\ldots+(n-1)^{n+1}+n^{n+1}-(n+1)^{n+1}=\\ \quad=
1^{n}+2\cdot 2^{n}+3\cdot3^{n}+\ldots+(n-1)\cdot(n-1)^{n}+n\cdot n^{n+1}-(n+1)^{n+1}<\\\quad <
[n\cdot1^{n}+n\cdot 2^{n}+n\cdot3^{n}+\ldots+n\cdot(n-1)^{n}]+n\cdot n^{n+1}-(n+1)^{n+1}\nad{z\, Z}{<}\\ \quad\nad{z\, Z}{<} n\cdot n^n +n^{n+1}-(n+1)^{n+1}=2n^{n+1}-(n+1)^{n+1}\nad{\color{red}{(*)}}{<}0=P_T\)
(*): Ze znanego faktu
\(\left(1+{1\over n}\right)^n\ge2\)
wynika
\(\left({n+1\over n}\right)^{n+1}\ge2(1+{1\over n})>2\\
(n+1)^{n+1}>2n^{n+1}\)
Pozdrawiam