Zadania na wzór jawny oraz ogólne rozwiązania równania rekurencyjnego

[hetom]

Witam,
mam podane zadanie na wór jawny:

Podaj wzór jawny na \(a_n\), gdzie:
\(a_{n+2} + 2a_{n+1} + 4a_n = 0 \),
\(a_0 = 0, a_1 = 2\).

Oraz:

Znajdź ogólne rozwiązanie równania rekurencyjnego:
\(a_{n+2}+9a_n=0\)

Generalnie szukałem na necie i znalazłem może jeden filmik, ale przykład był na bazie jakiegoś ogólnego wzoru. Mam więcej takich przykładów, ale jeśli by mi ktoś wytłumaczył ten jeden to z resztą raczej nie powinienem mieć problemów.

[panb]

Witam,
mam podane zadanie na wór jawny:

Podaj wzór jawny na \(a_n\), gdzie:
\(a_{n+2} + 2a_{n+1} + 4a_n = 0 \),
\(a_0 = 0, a_1 = 2\).

Tworzymy równanie charakterystyczne: \(q^2+2q+4=0\). Jego rozwiązaniem są liczby zespolone
\[q_{1,2}=-1\pm i\sqrt3=2 \left( -\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt3}{2} \right)=2 \left( \cos \frac{2\pi}{3}+i\sin \frac{2\pi}{3}\right) \] Wobec tego rozwiązanie równania \(a_{n+2} + 2a_{n+1} + 4a_n = 0 \), ma postać
\[a_n=2^n \left(A\cos \frac{2\pi n}{3}+B\sin \frac{2\pi n}{3} \right) \]
Z warunków początkowych, mamy
\(a_0=1(A \cdot 1+B \cdot 0=A \So A=0\\
a_1=2(0+B\sin \frac{2}{3}\pi)=2 \cdot B\frac{\sqrt3}{2} \So B\sqrt3=2 \So B= \frac{2}{\sqrt3} \)

Odpowiedź: Ciąg a_n będący rozwiązaniem równania \(a_{n+2} + 2a_{n+1} + 4a_n = 0 \) jest określony wzorem \[a_n= \frac{2^{n+1}}{\sqrt3}\sin \frac{2n\pi}{3} \]

P.S. Wydaje się, że to jakiś koszmarny ciąg, a równanie wyglądało niewinnie (miało całkowite współczynniki).
Po policzeniu kilku kolejnych wyrazów dostaniemy: 0, 2, -4, 0, 16, -32, ... czyli liczby całkowite.

[panb]

Drugi przykład spróbuj samodzielnie.

Odpowiedź: \(a_n=3^n \left(A\cos \frac{n\pi}{2} +B\sin\frac{n\pi}{2} \right) \)