Całk liczb zespolonych

Teoria liczb, teoria grafów, indukcja
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Babuszka11
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 12
Rejestracja: 30 mar 2021, 20:22
Podziękowania: 1 raz

Całk liczb zespolonych

Post autor: Babuszka11 »

Oblicz całkę zespoloną:
\( \int_{C}^{}=(x^2+iy^2)dz\)

gdzie, \(C=[0,1+i] \cup [1+i,2+i]\)
Ostatnio zmieniony 14 cze 2021, 10:34 przez Jerry, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: poprawa wiadomości; usunąłem zbędny załącznik
Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Re: Całk liczb zespolonych

Post autor: panb »

Babuszka11 pisze: 13 cze 2021, 23:55 Oblicz całkę zespoloną:
\( \int_{C}^{}=(x^2+iy^2)dz\)

gdzie, \(C=[0,1+i] \cup [1+i,2+i]\)
Najpierw rysunek przestawiający krzywą C
krzywa_C.png
krzywa_C.png (7.78 KiB) Przejrzano 1016 razy
Teraz metoda całkowania. Niech \(f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\). Wtedy\[\int_C f(z)dz=\int_C(u+iv)(dx+idy)=\int_C(udx-vdy)+i\int_C(udy+vdx)\]

Tutaj: \(u(x,y)=x^2,\,\,\, v(x,y)=y^2\), więc \[\int_C(x^2+iy^2)dz=\int_C(x^2dx-y^2dy)+i\int_C(x^2dy+y^2dx)\]

Liczymy każdą z tych całek z osobna.
  1. \(\displaystyle{ \int_C(x^2dx-y^2dy)=\int_{0A}(x^2dx-y^2dy)+\int_{AB}(x^2dx-y^2dy)= \begin{vmatrix}0A: x=t &y=t&0\le t \le 1\\dx=1dt&dy=1dt\\ AB: x=t&y=1&1\le t \le 2\\ dx=1dt&dy=0dt \end{vmatrix} =\\= \int_{0}^{1}(t^2-t^2)dt+ \int_{1}^{2} (t^2-0)dt= \frac{7}{3} }\)
  2. \(\displaystyle{ \int_C(x^2dy+y^2dx)=\int_{0A}(x^2dy+y^2dx)+\int_{AB}(x^2dy+y^2dx)=\begin{vmatrix}0A: x=t &y=t&0\le t \le 1\\dx=1dt&dy=1dt\\ AB: x=t&y=1&1\le t \le 2\\ dx=1dt&dy=0dt \end{vmatrix} =\\= \int_{0}^{1} (t^2+t^2)dt+ \int_{1}^{2} (0+1)dt = \frac{2}{3}+1= \frac{5}{3} }\)
Wobec tego

Odpowiedź: \( \int_{C}^{}=(x^2+iy^2)dz = \frac{7}{3} + \frac{5}{3}i \)

ODPOWIEDZ