Funkcje tworzące

[xylohunter199113]

Witam mam problem z funkcjami tworzącymi a dokładniej jak znaleźć współczynnik \(x^9\) z takiego ciągu.
\((1+x^3+x^6+x^9+....)^3\)
i nie wiem dlaczego \({1\over1-x}\) to jest ciąg samych jedynek, co podstawia się pod x żeby wyszło jeden za każdym razem.

[Jerry]

...i nie wiem dlaczego \({1\over1-x}\) to jest ciąg samych jedynek, co podstawia się pod x żeby wyszło jeden za każdym razem.

\(x=0\)

Pozdrawiam

[edited] liczyłem "na piechotę" i
\((1+x^3+x^6+x^9+\ldots)^3=\ldots+10x^9+\ldots\)

[xylohunter199113]

Jak to na piechote policzyłeś podałbyś mi obliczenia bo nie mogę tego zrozumieć a w sobotę mam kolokwium

[Icanseepeace]

Rozniczkując dwukrotnie:
\( \sum\limits_{k = 0}^{\infty} u^k = \frac{1}{1 - u} \)
dostajesz:
\( \frac{2}{(1 - u)^3} = \sum_\limits{k = 2}^{\infty}k(k-1)u^{k-2} \)
dlatego:
\( (1 + x^3 + x^6 + ... )^3 = \frac{1}{(1-x^3)^3} = \frac{1}{2} \sum\limits_{k =2}^{\infty} k(k-1)x^{3k - 6} \)
Podstawiając \( k = 5 \) dostajesz odpowiedź jak u Jerryego