liczby złożone

[_m_s_a100]

Udowodnij, że wśród liczb ciągu 1, 31, 331, 3331,... istnieje nieskończenie wiele liczb złożonych.

[Jerry]

Ciąg \((a_n)=( 31,\ 331,\ 3331,\ ...)\) można określić wzorem iteracyjnym
\(a_n={10^{n+1}-7\over3}\wedge n\in\zz_+\)
Sprawdziłem, że
-) \(17\mid a_9\)
-) \(673\mid a_{10}\)
-) \(307\mid a_{11}\)

Można postawić hipotezę, że dla każdego \(n\ge 9\) mamy: \(a_n\) jest złożona, ale... pomysłu na dowód chwilowo nie mam

Pozdrawiam

[edited] indukcyjnie?

[Icanseepeace]

Pierwszym korkiem jest zapisanie każdej z tych liczb w innej postaci:
\( 33...331 = 300..00 + 30..00 + ... + 300 + 30 + 3 - 2 = 3(10^{n-1} + 10^{n-2} + ... + 1) - 2 =\\ \quad = 3 \frac{10^n - 1}{10 - 1} - 2 = \frac{10^n - 7}{3} \)
dla \( n = 1 , 2 , ... \)
Teraz pokazujemy, że dla każdego \( n \) w postaci: \( n = 30k + 2 \) ta liczba jest podzielna przez 31. Istotnie:
\( \frac{10^{30k + 2} - 7}{3} = \frac{(10^k)^{30} \cdot 10^2 - 7}{3} \stackrel{MTF}{\equiv} \frac{ 1 \cdot 10^2 - 7}{3} \equiv 0 \ ( \mod 31 ) \)

[_m_s_a100]

Teraz pokazujemy, że dla każdego \( n \) w postaci: \( n = 30k + 2 \) ta liczba jest podzielna przez 31.

skąd mamy n = 30k + 2 ?

[Jerry]

\(\ldots = \frac{(10^k)^{30} \cdot 10^2 - 7}{3} \stackrel{MTF}{\equiv} \frac{ 1 \cdot 10^2 - 7}{3} \equiv\ldots \)

Wg mnie czytelniejsza byłaby wersja
\(\ldots = \frac{(10^{30})^k \cdot 10^2 - 7}{3} \stackrel{MTF}{\equiv} \frac{ 1^k \cdot 10^2 - 7}{3} \equiv\ldots \)
bo to
\(10^{30}\equiv 1(\mod31)\)

Pozdrawiam

[_m_s_a100]

\(\ldots = \frac{(10^k)^{30} \cdot 10^2 - 7}{3} \stackrel{MTF}{\equiv} \frac{ 1 \cdot 10^2 - 7}{3} \equiv\ldots \)

Wg mnie czytelniejsza byłaby wersja
\(\ldots = \frac{(10^{30})^k \cdot 10^2 - 7}{3} \stackrel{MTF}{\equiv} \frac{ 1^k \cdot 10^2 - 7}{3} \equiv\ldots \)
bo to
\(10^{30}\equiv 1(\mod31)\)

Pozdrawiam

Ale w ostatecznym wyniku nadal otrzymujemy \( 0(\mod31)\) prawda?

[Icanseepeace]

\(\ldots = \frac{(10^k)^{30} \cdot 10^2 - 7}{3} \stackrel{MTF}{\equiv} \frac{ 1 \cdot 10^2 - 7}{3} \equiv\ldots \)

Wg mnie czytelniejsza byłaby wersja
\(\ldots = \frac{(10^{30})^k \cdot 10^2 - 7}{3} \stackrel{MTF}{\equiv} \frac{ 1^k \cdot 10^2 - 7}{3} \equiv\ldots \)
bo to
\(10^{30}\equiv 1(\mod31)\)

Pozdrawiam

Ale w ostatecznym wyniku nadal otrzymujemy \( 0(\mod31)\) prawda?

Nadal:
\( \frac{1^k 10^2 - 7}{3} = \frac{100 - 7}{3} = 31 \equiv 0 \ ( \ mod \ 31 \ ) \)
Ze względu matematycznego:
Nie ma większej różnicy czy pod przysłowiowym "\( a \)" w \( MTF \) podstawimy \( 10 \) czy też \( 10^k \)
Obie te liczby są względnie pierwsze z \(31\), czyli założenie jest spełnione.
Ze względu na stylistykę:
Zapis
\( \frac{((10)^{30})^k 10^2 - 7}{3} \equiv \frac{1^k 10^2 - 7}{3} \)
jest czytelniejszy.

[Icanseepeace]

Teraz pokazujemy, że dla każdego \( n \) w postaci: \( n = 30k + 2 \) ta liczba jest podzielna przez 31.

skąd mamy n = 30k + 2 ?

Dzięki takiemu przedstawieniu \( n \) możemy w dalszej części dowodu wykorzystać \( MTF \)