Wyznaczyć rozwiązania rekurencji - Fibonacci

[damian28102000]

Cześć!
Mam za zadanie:
Wyznaczyć rozwiązania rekurencji na przykładzie ciągu Fibonacciego.
Obecna próba (nie jestem pewien, czy w ogóle dobrze do niego podchodzę):
\(k=2\)
\(X^2=X^{n-1}-X^{n-2}\)
\(X^2-X\:=\:0\:\:\:\:\:\)
\( \Delta = 1\)
\(X_1=0\)
\(X_2=1\)
\(\left\{ \begin{array}{ll}
0 = \alpha * 0^0 + \beta *1^0 & \textrm{Symbol nieoznaczony, co mam ze sobą zrobić?}\\
1 = \alpha * 0^1 + \beta *1^1 & \\
\end{array} \right..\)

[Jerry]

\(X^2=X^{n-1}-X^{n-2}\)

Ja bym napisał
\(X^n=X^{n-1}+X^{n-2}\\ X^2=X+1\\X^2-X-1=0\\ \ldots\)

Pozdrawiam

[edited] w Wiki

[kerajs]

Ponadto
\(r^2-r-1=0\)
\( \begin{cases}
0 = \alpha \cdot r_1^0 + \beta \cdot r_2^0 \\
1 = \alpha \cdot r_1^1 + \beta \cdot r_2^1
\end{cases} \)

[damian28102000]

\(X^2=X^{n-1}-X^{n-2}\)

Ja bym napisał
\(X^n=X^{n-1}+X^{n-2}\\ X^2=X+1\\X^2-X-1=0\\ \ldots\)

Pozdrawiam

[edited] w Wiki

Ponadto
\(r^2-r-1=0\)
\( \begin{cases}
0 = \alpha \cdot r_1^0 + \beta \cdot r_2^0 \\
1 = \alpha \cdot r_1^1 + \beta \cdot r_2^1
\end{cases} \)

Kerajs, nie rozumiem, ale:

Czy teraz jest dobrze?
\(X^n=X^{n-1}+X^{n-2}\\ X^2=X+1\\X^2-X-1=0\\ \ldots\)
\( \Delta = 5\)
\(X_1=\frac{\left(1+\sqrt{5}\right)}{2}\)
\(X_2=\frac{\left(1-\sqrt{5}\right)}{2}\)

\(\left\{ \begin{array}{ll}
0 = \alpha * \left(\frac{\left(1-\sqrt{5}\right)}{2}\right)^0 + \beta *\left(\frac{\left(1+\sqrt{5}\right)}{2}\right)^0 & \\
1 = \alpha *\left(\frac{\left(1-\sqrt{5}\right)}{2}\right)^1 + \beta * \left(\frac{\left(1-\sqrt{5}\right)}{2}\right)^1 & \\
\end{array} \right..\)

\( \alpha = -1\)
\( \beta = 1\)

\(a_n=1\cdot \left(\frac{\left(1-\sqrt{5}\right)}{2}\right)^n-1\cdot \left(\frac{\left(1-\sqrt{5}\right)}{2}\right)^n\)

[Jerry]

\(\left\{ \begin{array}{ll}
0 = \alpha * \left(\frac{\left(1-\sqrt{5}\right)}{2}\right)^0 + \beta *\left(\frac{\left(1+\sqrt{5}\right)}{2}\right)^0 & \\
1 = \alpha *\left(\frac{\left(1-\sqrt{5}\right)}{2}\right)^1 + \beta * \left(\frac{\left(1-\sqrt{5}\right)}{2}\right)^1 & \\
\end{array} \right..\)

Tak

\( \alpha = -1\)
\( \beta = 1\)

Nie

Pozdrawiam

[damian28102000]

\(\left\{ \begin{array}{ll}
0 = \alpha * \left(\frac{\left(1-\sqrt{5}\right)}{2}\right)^0 + \beta *\left(\frac{\left(1+\sqrt{5}\right)}{2}\right)^0 & \\
1 = \alpha *\left(\frac{\left(1-\sqrt{5}\right)}{2}\right)^1 + \beta * \left(\frac{\left(1-\sqrt{5}\right)}{2}\right)^1 & \\
\end{array} \right..\)

Tak

\( \alpha = -1\)
\( \beta = 1\)

Nie

Pozdrawiam

Teraz dobrze?
\(\left\{ \begin{array}{ll}
0 = \alpha * \left(\frac{\left(1-\sqrt{5}\right)}{2}\right)^0 + \beta *\left(\frac{\left(1+\sqrt{5}\right)}{2}\right)^0 & \\
1 = \alpha *\left(\frac{\left(1-\sqrt{5}\right)}{2}\right)^1 + \beta * \left(\frac{\left(1+\sqrt{5}\right)}{2}\right)^1 & \\
\end{array} \right..\)

\( \alpha = -\frac{\sqrt{5}}{5}\)
\( \beta = \frac{\sqrt{5}}{5}\)

\(a_n=-\frac{\sqrt{5}}{5}\cdot \left(\frac{\left(1-\sqrt{5}\right)}{2}\right)^n+\frac{\sqrt{5}}{5}\cdot \left(\frac{\left(1-\sqrt{5}\right)}{2}\right)^n\)

[Jerry]

Dobrze!

Pozdrawiam