Niech ciąg fn spełnia równanie rekurencyjne...

[damian28102000]

Cześć!
Mam zadanie wraz z rozwiązaniem ale nie rozumiem jego dwóch fragmentów:

TREŚĆ:
Niech ciąg \(f_n\) spełnia równanie rekurencyjne
\(f_n=f_{n-1}+f_{n-2}\) dla \(n \ge 2\)
\(f_0=f_1=1\)
a)\(f_{n+1}f_{n-1}-f_n^2=\left(-1\right)^{n+1}\)

ROZWIĄZANIE:
\(L\left(k+1\right)=f_{k+2}\cdot \:f_k-f^2_{k+1}=\left(f_{k+1}+f_k\right)\cdot \:f_k-f_{k+1}\left(f_k+f_{k-1}\right)=\\ \qquad=f_{k+1}\cdot \:f_k+f^2_k-f_{k+1}\cdot \:f_k-f_{k+1}\cdot \:f_{k-1}=f^2_k-f_{k+1}\cdot f_{k-1}=-\left(-1\right)^{k+1}=\left(-1\right)^{k+2}\)

NIE ROZUMIEM:
\(f^2_{k+1} = f_{k+1}\left(f_k+f_{k-1}\right)\)
\(f^2_k-f_{k+1}\cdot f_{k-1}=-\left(-1\right)^{k+1}=\left(-1\right)^{k+2}\)

[eresh]

Cześć!
Mam zadanie wraz z rozwiązaniem ale nie rozumiem jego dwóch fragmentów:

TREŚĆ:
Niech ciąg \(f_n\) spełnia równanie rekurencyjne
\(f_n=f_{n-1}+f_{n-2}\) dla \(n \ge 2\)
\(f_0=f_1=1\)
a)\(f_{n+1}f_{n-1}-f_n^2=\left(-1\right)^{n+1}\)

ROZWIĄZANIE:
\(L\left(k+1\right)=f_{k+2}\cdot \:f_k-f^2_{k+1}=\left(f_{k+1}+f_k\right)\cdot \:f_k-f_{k+1}\left(f_k+f_{k-1}\right)=f_{k+1}\cdot \:f_k+f^2_k-f_{k+1}\cdot \:f_k-f_{k+1}\cdot \:f_{k-1}=f^2_k-f_{k+1}\cdot f_{k-1}=-\left(-1\right)^{k+1}=\left(-1\right)^{k+2}\)

NIE ROZUMIEM:
\(f^2_{k+1} = f_{k+1}\left(f_k+f_{k-1}\right)\)
\(f^2_k-f_{k+1}\cdot f_{k-1}=-\left(-1\right)^{k+1}=\left(-1\right)^{k+2}\)

\(f^2_{k+1}=f_{k+1}\cdot f_{k+1}=f_{k+1}\cdot (f_{k+1-1}+f_{k+1-2})=f_{k+1}\cdot (f_k+ f_{k-1})\\
f^2_k-f_{k+1}\cdot f_{k-1}=-(f_{k+1}f_{k-1}-f^2_k)=-(-1)^{k+1}=(-1)\cdot (-1)^{k+1}=(-1)^{k+2}\)

[kerajs]

(Przesunięty)Ciąg Fibonacciego. Wzór Bineta.

[damian28102000]

Cześć!
Mam zadanie wraz z rozwiązaniem ale nie rozumiem jego dwóch fragmentów:

TREŚĆ:
Niech ciąg \(f_n\) spełnia równanie rekurencyjne
\(f_n=f_{n-1}+f_{n-2}\) dla \(n \ge 2\)
\(f_0=f_1=1\)
a)\(f_{n+1}f_{n-1}-f_n^2=\left(-1\right)^{n+1}\)

ROZWIĄZANIE:
\(L\left(k+1\right)=f_{k+2}\cdot \:f_k-f^2_{k+1}=\left(f_{k+1}+f_k\right)\cdot \:f_k-f_{k+1}\left(f_k+f_{k-1}\right)=f_{k+1}\cdot \:f_k+f^2_k-f_{k+1}\cdot \:f_k-f_{k+1}\cdot \:f_{k-1}=f^2_k-f_{k+1}\cdot f_{k-1}=-\left(-1\right)^{k+1}=\left(-1\right)^{k+2}\)

NIE ROZUMIEM:
\(f^2_{k+1} = f_{k+1}\left(f_k+f_{k-1}\right)\)
\(f^2_k-f_{k+1}\cdot f_{k-1}=-\left(-1\right)^{k+1}=\left(-1\right)^{k+2}\)

\(f^2_{k+1}=f_{k+1}\cdot f_{k+1}=f_{k+1}\cdot (f_{k+1-1}+f_{k+1-2})=f_{k+1}\cdot (f_k+ f_{k-1})\\
f^2_k-f_{k+1}\cdot f_{k-1}=-(f_{k+1}f_{k-1}-f^2_k)=-(-1)^{k+1}=(-1)\cdot (-1)^{k+1}=(-1)^{k+2}\)

Dziękuję, ale nadal nie może mi przejść przez mózg:
\((f_{k+1-1}+f_{k+1-2})=f_{k+1}\)
Jak? Przecież to nie pasuje. No chyba, że chodzi o coś w ogóle innego.

[panb]

Dziękuję, ale nadal nie może mi przejść przez mózg:
\((f_{k+1-1}+f_{k+1-2})=f_{k+1}\)
Jak? Przecież to nie pasuje. No chyba, że chodzi o coś w ogóle innego.

\(f_{k+1}^2=f_{k+1}\cdot f_{k+1}\) - to ogarniasz, prawda?
Jedno z tych \(f_{k+1}\) zostawiamy drugie zastępujemy wzorem rekurencyjnym.
Skoro \(f_n=f_{n-1}+f_{n-2}\), to \(f_{k+1}= ...\)

[eresh]

Cześć!
Mam zadanie wraz z rozwiązaniem ale nie rozumiem jego dwóch fragmentów:

TREŚĆ:
Niech ciąg \(f_n\) spełnia równanie rekurencyjne
\(f_n=f_{n-1}+f_{n-2}\) dla \(n \ge 2\)
\(f_0=f_1=1\)
a)\(f_{n+1}f_{n-1}-f_n^2=\left(-1\right)^{n+1}\)

ROZWIĄZANIE:
\(L\left(k+1\right)=f_{k+2}\cdot \:f_k-f^2_{k+1}=\left(f_{k+1}+f_k\right)\cdot \:f_k-f_{k+1}\left(f_k+f_{k-1}\right)=f_{k+1}\cdot \:f_k+f^2_k-f_{k+1}\cdot \:f_k-f_{k+1}\cdot \:f_{k-1}=f^2_k-f_{k+1}\cdot f_{k-1}=-\left(-1\right)^{k+1}=\left(-1\right)^{k+2}\)

NIE ROZUMIEM:
\(f^2_{k+1} = f_{k+1}\left(f_k+f_{k-1}\right)\)
\(f^2_k-f_{k+1}\cdot f_{k-1}=-\left(-1\right)^{k+1}=\left(-1\right)^{k+2}\)

\(f^2_{k+1}=f_{k+1}\cdot f_{k+1}=f_{k+1}\cdot (f_{k+1-1}+f_{k+1-2})=f_{k+1}\cdot (f_k+ f_{k-1})\\
f^2_k-f_{k+1}\cdot f_{k-1}=-(f_{k+1}f_{k-1}-f^2_k)=-(-1)^{k+1}=(-1)\cdot (-1)^{k+1}=(-1)^{k+2}\)

Dziękuję, ale nadal nie może mi przejść przez mózg:
\((f_{k+1-1}+f_{k+1-2})=f_{k+1}\)
Jak? Przecież to nie pasuje. No chyba, że chodzi o coś w ogóle innego.

wiadomo, że
\(f_n=f_{n-1}+f_{n-2}\)
podstaw \(n=k+1 \) i dostaniesz wzór na \(f_{k+1}\)
\(f_{k+1}=f_{k+1-1}+f_{k+1-2}=f_k+f_{k-1}\)