Ile rozwiązań całkowitych ma równanie

[damian28102000]

Cześć, mam problem z zadaniem, właściwie nie wiem jak to "ugryźć" i zacząć:
Ile rozwiązań całkowitych ma równanie:
\(x_1+x_2+x_3+x_4=16\)
jeśli
a) \(x_i>0\)
b) \(x_1\ge2, x_2\ge3, x_3\ge0, x_4\ge1\)

[kerajs]

wstęp:
https://matematyka.pl/viewtopic.php?f=4 ... 7#p5611906

a)\( { 16-1\choose 4-1} \)
b)
skoro \(x_3=0\) to równanie ma postać
\(x_1+x_2+x_4=16\) i ograniczenia \(x_1\ge2, x_2\ge3 , x_4\ge1\)
Przyjmując zmienne pomocnicze \(x_1=t_1+1, x_2=t_2+2 , x_4=t_4\)
szukam ilości rozwiązań równania \(t_1+1+t_2+2+t_4=16\) w liczbach naturalnych dodatnich, Jest ich \( { 16-3-1\choose 3-1} \)

[Jerry]

Niestarannym kodem wprowadziłeś w błąd kerajsa. Do Jego rozwiązania b) musisz dołożyć rozwiązania w liczbach naturalnych dodatnich równania
\(t_1+1+t_2+2+t_3+t_4=16\)
gdzie
\(t_3=x_3\ge1\)

Pozdrawiam

[kerajs]

Fakt, nie sprawdzam kodu zapisu.
Alternatywą do sumowania zaproponowanego przez Jerrego jest przyjęcie zmiennych:
\(x_1=z_1+1, x_2=z_2+2 , x_3=z_3-1 , x_4=z_4\) . Wtedy
ilość rozwiązań równania \(z_1+1+z_2+2+z_3-1+z_4=16\) w liczbach naturalnych dodatnich to \( { 16-2-1\choose 4-1} \)

[damian28102000]

Fakt, nie sprawdzam kodu zapisu.
Alternatywą do sumowania zaproponowanego przez Jerrego jest przyjęcie zmiennych:
\(x_1=z_1+1, x_2=z_2+2 , x_3=z_3-1 , x_4=z_4\) . Wtedy
ilość rozwiązań równania \(z_1+1+z_2+2+z_3-1+z_4=16\) w liczbach naturalnych dodatnich to \( { 16-2-1\choose 4-1} \)

Niestarannym kodem wprowadziłeś w błąd kerajsa. Do Jego rozwiązania b) musisz dołożyć rozwiązania w liczbach naturalnych dodatnich równania
\(t_1+1+t_2+2+t_3+t_4=16\)
gdzie
\(t_3=x_3\ge1\)

Pozdrawiam

Najmocniej przepraszam, mam problemy jeszcze z latexem, zapis "programistyczny" wydawał mi się jasny.
Dziękuję za rozwiązanie problemu, bo naprawdę nie wiedziałem co zrobić <3

[damian28102000]

Niestarannym kodem wprowadziłeś w błąd kerajsa. Do Jego rozwiązania b) musisz dołożyć rozwiązania w liczbach naturalnych dodatnich równania
\(t_1+1+t_2+2+t_3+t_4=16\)
gdzie
\(t_3=x_3\ge1\)

Pozdrawiam

wstęp:
https://matematyka.pl/viewtopic.php?f=4 ... 7#p5611906

a)\( { 16-1\choose 4-1} \)
b)
skoro \(x_3=0\) to równanie ma postać
\(x_1+x_2+x_4=16\) i ograniczenia \(x_1\ge2, x_2\ge3 , x_4\ge1\)
Przyjmując zmienne pomocnicze \(x_1=t_1+1, x_2=t_2+2 , x_4=t_4\)
szukam ilości rozwiązań równania \(t_1+1+t_2+2+t_4=16\) w liczbach naturalnych dodatnich, Jest ich \( { 16-3-1\choose 3-1} \)

Dla \(x_{i}\ge0\) będzie \({ 16+4-1\choose 16}\)?

[kerajs]

Nie. Wynik który podałeś jest dla całkowitoliczbowych rozwiązań równania
\(x_1+x_2+x_3+x_4=16\) jeśli \(x_i \ge 0\)
Ja wolę zapis \({ 16+4-1\choose 4-1} \). Oba wyniki są takie same gdyż
\( { n\choose k} = { n\choose n-k} \)

[damian28102000]

Nie. Wynik który podałeś jest dla całkowitoliczbowych rozwiązań równania
\(x_1+x_2+x_3+x_4=16\) jeśli \(x_i \ge 0\)
Ja wolę zapis \({ 16+4-1\choose 4-1} \). Oba wyniki są takie same gdyż
\( { n\choose k} = { n\choose n-k} \)

Dobra to jeszcze podsumowując, bo coś mi się tutaj nie zgadza:
Ile rozwiązań CAŁKOWITYCH ma równanie:
\(x_1+x_2+x_3+x_4=16\)
jeśli
a) \(x_i>0\)
\( { 16-1\choose 4-1} \)
b) \(x_1\ge2, x_2\ge3, x_3\ge0, x_4\ge1\)
\(x_1=z_1+1, x_2=z_2+2 , x_3=z_3-1 , x_4=z_4\) . Wtedy
ilość rozwiązań równania \(z_1+1+z_2+2+z_3-1+z_4=16\) w liczbach naturalnych dodatnich to \( { 16-2-1\choose 4-1} \)
c) \(x_{i}\ge0\)
\({ 16+4-1\choose 16}\)

Zgadza się?

[kerajs]

Moim zdaniem tak, ale skoro to ja podałem te odpowiedzi, to potrzebna jest opinia jakiegoś specjalisty lub specjalistki. (Mi nie wypada być sędzią we własnej sprawie).

[damian28102000]

Nie. Wynik który podałeś jest dla całkowitoliczbowych rozwiązań równania
\(x_1+x_2+x_3+x_4=16\) jeśli \(x_i \ge 0\)
Ja wolę zapis \({ 16+4-1\choose 4-1} \). Oba wyniki są takie same gdyż
\( { n\choose k} = { n\choose n-k} \)

Mam podejrzenie, że nie zauważyłeś w poleceniu "całkowitych"
A to przypadkiem dla a nie wychodzi:
\(16-4=12 { 12+4-1\choose 12} \)
a dla b
\(16-6=10 { 10+4-1\choose 10} \)

Oczywiście ja jestem leszcz i mogę mówić od rzeczy, ale mam takie przypuszczenie.

[Jerry]

a) \(x_i>0\)
\( { 16-1\choose 4-1} \)

b) \(x_1\ge2, x_2\ge3, x_3\ge0, x_4\ge1\)
\({ 16-2-1\choose 4-1} \)

c) \(x_{i}\ge0\)
\({ 16+4-1\choose 16}\)

Zgadza się?

Tak! Chociaż naturalniejszym zapisem c) byłoby \({ 16+4-1\choose 4-1}\)

Pozdrawiam

[Jerry]

Mam podejrzenie, że nie zauważyłeś w poleceniu "całkowitych"

Gdyby nie zachodził warunek \(x_i\in\zz\), to dane równanie miałoby nieprzeliczalnie nieskończenie wiele rozwiązań!

W swoich rozwiązaniach kerajs uparcie omija kombinacje z powtórzeniami... i chwała Mu za to - byłoby problem jeszcze trudniej ogarnąć!

Pozdrawiam

[kerajs]

Dziękuję za potwierdzenie poprawności wyników.

Tak, świadomie unikam formy \({ n+k-1\choose n} \) gdyż i tak muszę później ją tłumaczyć. A wyjaśnienia z koralikami, plusami, szparami większość łapie i stosuje równoważną \({ n+k-1\choose k-1} \) . Nie sądziłem, że jest to aż tak widoczne.