Udowodnij indukcyjnie, że każda z poniższych równości jest prawdziwa

[krniasty]

Udowodnij indukcyjnie, że każda z poniższych równości jest prawdziwa dla każdego n ∈ N.

a)\(\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)
b)\(\sum_{k=1}^{n} k(k+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}\)
c)\(\sum_{k=1}^{n} k^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}\)
d)\(\sum_{k=1}^{n} k*2^k = 2^{n+1}(n-1)+2\)

[eresh]

Udowodnij indukcyjnie, że każda z poniższych równości jest prawdziwa dla każdego n ∈ N.

a)\(\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)

dla \(n=1\)
\(1=\frac{1\cdot 2\cdot 3}{6}\\\)
1=1

\(
\sum_{k+1}^{n+1}k^2=\sum_{k+1}^nk^2+(n+1)^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2=\frac{n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^2}{6}=\\=\frac{(n+1)(2n^2+n+6n+6)}{6}=\frac{(n+1)(2n^2+7n+6)}{6}=\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}=\frac{(n+2)(n+1+1)(2(n+1)+1}{6}\)

[eresh]

Udowodnij indukcyjnie, że każda z poniższych równości jest prawdziwa dla każdego n ∈ N.

b)\(\sum_{k=1}^{n} k(k+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}\)

dla \(n=1\)
\(1(1+1)=\frac{1\cdot 2\cdot 3}{3}\\
2=2\)

\(\sum_{k=1}^{n+1}k(k+1)=\sum_{k=1}^nk(k+1)+(n+1)(n+2)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}+\frac{3(n+1)(n+2)}{3}=\\=\frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3}\)

[eresh]

Udowodnij indukcyjnie, że każda z poniższych równości jest prawdziwa dla każdego n ∈ N.

c)\(\sum_{k=1}^{n} k^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}\)

\(n=1:\\
1=\frac{1\cdot 2^2}{4}\\
1=1\)

\(\sum_{k=1}^{n+1}k^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}+(n+1)^3=\frac{n^2(n+1)^2+4(n+1)^3}{4}=\frac{(n+1)^2(n^2+4(n+1))}{4}=\frac{(n+1)^2(n^2+4n+4))}{4}=\frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}\)

[eresh]

Udowodnij indukcyjnie, że każda z poniższych równości jest prawdziwa dla każdego n ∈ N.
d)\(\sum_{k=1}^{n} k*2^k = 2^{n+1}(n-1)+2\)

\(n=1:\\
1\cdot 2=2^{0}+2\\
2=2\\\)

\(\sum_{k=1}^{n+1}k\cdot 2^k=2^{n+1}(n-1)+2+(n+1)\cdot 2^{n+1}=2^{n+1}(n-1+n+1)+2=2^{n+1}\cdot 2n+2=2^{n+2}\cdot n+2\)