Zadanie z kulami i szufladami

[damian28102000]

Cześć! Mam problem z zadaniem:
Wyznaczyć bijekcję pomiędzy zbiorem rozmieszczeń \(k\) jednakowych kulw \(n\) oznaczonych szufladkach
a zbiorem rozwiązań równania
\(x_1 + x_2 + . . . x_n = k\),
gdzie każde \(x_i\) jest nieujemną liczbą całkowitą.

Doszedłem do czegoś takiego, ale raczej to jest źle:

\(n={k\over2}\)
\(k=2n\)

\(n=5\)
\(k=10,\ x_n\ge0\)

\(0+1+2+3+4=10\)

\(1\)= szuflada
\(0\)=kula
\(010001010001001\)

[grdv10]

Niech \(r\) będzie ustalonym rozmieszczeniem kul. Przypisujemy mu wektor \(\bigl(x_1(r),\dots,x_n(r)\bigr)\) o współrzędnych całkowitych nieujemnych i takich, że \(x_1(r)+\dots+x_n(r)=k.\) Pokaż, że jest to bijekcja.

Dokładniej: niech \(R\) będzie zbiorem rozmieszczeń, zaś \(Y\) zbiorem całkowitych nieujemnych rozwiązań równania \(x_1+\dots+x_n=k\). Określamy my funkcję \(f\colon R\to Y\) wzorem\[f(r)=\bigl(x_1(r),\dots,x_n(r)\bigr),\quad r\in R.\]