Indukcja matematyczna i rekurencja

[okon]

Zadanie: 1. Które z ponizej podanych relacji nie sa tautologia
1)[(p _ q) =) r] =) [(p =) r) _ (q =) r)]
2)[p =) (q =) r)] () [q =) (p =) r)]
3)[(p _ q) ^ (p =) q)] =) (q =) p)
4)(p =) q) =) [(p ^ r) =) q]
5)[ (p =) q) ^ (q =) p)] =) (p^ q)

Zadanie: 2.
Powołując się na indukcję matematyczną pokazać, ze jeśli funkcja f : N −! N spełnia warunek
\( f(n) =\begin{cases} f(0) = 9\\ 6f(n − 1) − 40 & n \ge 1\end{cases},
\text{to}\,\, f(n) = 6n + 8, n > 0.\)
Tak to wygląda porządnie zapisane:

Kod: Zaznacz cały

[tex] f(n) =\begin{cases} f(0) = 9\\ 6f(n − 1) − 40 & n > 1\end{cases},
\text{to}\,\, f(n) = 6n + 8, n \ge 0.[/tex]

Zadanie: 3.
Niech funkcja f : N −! N spełnia warunek
(
f(0) = 7
f(n) = f(n − 1) + 8n + 7, n > 1.
Wykorzystujac rekurencje obliczyc wartosci funkcji f(n) dla n = 5, 6, 7, 8, 9, 10. Która z ponizej
podanych odpowiedzi jest poprawna.
1)172 229 294 367 448 537
2)167 223 287 359 439 527
3)157 211 273 343 421 507
4)177 235 301 375 457 547
5)162 217 280 351 430 517

[panb]

Zadanie: 2.
Powołując się na indukcję matematyczną pokazać, ze jeśli funkcja f : N −> N spełnia warunek
\( f(n) =\begin{cases} f(0) = 9\\ 6f(n − 1) − 40 & n \ge 1\end{cases},
\text{to}\,\, f(n) = 6n + 8, n \ge 0.\)
Tak to wygląda porządnie zapisane:

Kod: Zaznacz cały

[tex] f(n) =\begin{cases} f(0) = 9\\ 6f(n − 1) − 40 & n > 1\end{cases},
\text{to}\,\, f(n) = 6n + 8, n \ge 0.[/tex]

Nie chcę marudzić, ale już f(0) się nie zgadza.
W rekurencji jest \(f(0)=9\), a z wzoru \(f(0)=6\cdot0+8=8\\
f(1)=6f(0)-40=54-40=14,\quad f(1)=6\cdot 1+8=14\\
f(2)=6\cdot f(1)-40=84-40=44,\quad f(2)=6\cdot2-40=12-40\neq44\)

Coś potwornie namieszałeś.